Radacini multiple - polinoame

Radacini multiple - polinoame

Definitia: Fie un polinom nenul si o radacina a lui f . Numarul natural m 1 cu proprietatile ca divide pe f si nu divide pe f se numeste ordinul de multiplicitate al radacinii a. Daca m = 1, atunci radacina se numeste radacina simpla, daca m 2, atunci a se numeste radacina multipla de ordinul m .

Observatie: Daca m = 2 radacina se mai numeste radacina dubla iar daca m = 3 se mai numeste radacina tripla.

Exemple

Polinomul se mai poate scrie si deci se divide prin ceea ce inseamna ca are radacina dubla pe 1, dar se mai divide si prin sau daca vreti prin si deci va avea radacina tripla pe 0.

Altfel spus prin rezolvarea ecuatiei obtinem radacinile si

Teorema

Fie un polinom nenul. Daca sunt radacini ale lui f avand ordinele de multiplicitate atunci polinomul divide pe f.

Exemplu

Sa se arate ca polinomul se divide prin

Rezolvare:

Cum se mai scrie deci avand radacinile 1 si - 1 vom arata ca si polinomul f are aceste doua radacini.

si

de unde rezulta ca 1 si - 1 sunt radacini ale lui f . Atunci din teorema rezulta ca divide pe f adica divide pe f .

Consecinta 1 : Orice polinom f de grad n 1 are n radacini (nu neaparat distincte; o radacina se repeta de un numar de ori egal cu ordinul sau de multiplicitate).

Observatie : Vezi exemplul de la definitia 2

Consecinta 2 : Fie un polinom cu , n 1. Daca sunt radacinile lui f , atunci

Observatie : Aceasta formula am mai intalnit-o la trinomul de gradul II: