QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Ecuatii echivalente ale dreptei in spatiu








Ecuatii echivalente ale dreptei in spatiu




Dreapta in spatiu





Fie R (O; , , ), un reper cartezian ortonormat in spatiul punctual euclidian E3 = (E3, V3, j). Oricarui punct M I E ii putem asocia vectorul de pozitie , unde (x, y, z) I R , coordonatele vectorului in baza vor fi numite coordonatele punctului M.

In spatiul geometric E3, o dreapta este unic determinata de urmatoarele conditii:

- un punct si de o directie data

- doua puncte distincte

- intersectia a doua plane


1. Dreapta determinata de un punct si o directie


Fie un punct M0 I E si vectorul nenul I V3. Vectorul nenul genereaza subspatiul vectorial unidimensional V1 =


In aceste conditii subspatiul afin ce contine punctul M0 si care admite pe V 1 ca spatiu director ,va avea drept multime suport dreapta (d) ale carei puncte sunt date de     


fig. 1


Conditia I V are loc daca si numai daca l I R asa incat = l . Scriind = obtinem


lIR (1)

numita ecuatia vectoriala a dreptei (d) prin punctul M0 avand directia data de vectorul

Daca proiectam relatia (1) pe axele reperului cartezian R(O, ) obtinem:



(2)


numite ecuatiile parametrice ale dreptei d prin punctul M0(x0, y0, z0) avand directia data de vectorul


Vectorul = (l, m, n) I V3 va fi numit vectorul director al dreptei (d) iar coordonatele l, m, n I R vor fi numite parametrii directori ai dreptei (d).


Daca vectorul director este versorul , care formeaza unghiurile

a b g cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz, atunci parametrii directori:

cosa, cosb, cosg, coordonatele versorului , se vor numi cosinusurile directoare ale dreptei (d).



Cosinusurile directoare ale unei directii in spatiu satisfac relatia

cos2a cos2b cos2g =

Observatie: ecuatiile (1) sau forma echivalenta (2) guverneaza miscarea rectilinie si uniforma a unui punct material.

Eliminand parametrul l din ecuatiile (2) se obtin ecuatiile:


(3)


numite ecuatiile carteziene canonice (sub forma de rapoarte) ale dreptei d prin punctul M0(x0, y0, z0) si cu directia data de vectorul = (l, m, n)


Observatie. Ecuatiile canonice se scriu si cand unul sau doi parametri directori sunt nuli, convenind in acest caz ca numaratorul corespunzator este nul si ca ecuatiile sunt date efectiv de egalarea produsului mezilor cu produsul extremilor in proportiile formate.


Dreapta determinata de doua puncte distincte




Fie M1, M2 I E doua puncte distincte. Subspatiul afin generat de aceste puncte va avea ca spatiu vectorial director subspatiul unidimensional V1 V3 dat de



V1 =


fig. 2


Cu alte cuvinte un punct M I E apartine multimii suport a subspatiului afin generat de punctele M1 si M2, adica M este situat pe dreapta prin cele doua puncte, daca si numai daca vectorii si sunt coliniari. Astfel, multimea punctelor dreptei prin M1 si M2 va fi caracterizata de relatia vectoriala

l I R       

sau

(4)

numita ecuatia vectoriala a dreptei prin doua puncte.

In reperul cartezian R (O; ) , considerand M(x, y, z) , M1(x1, y1, z1) si M2(x2, y2, z2), vom obtine:

(5)

numite ecuatiile parametrice ale dreptei prin doua puncte.

Observatie: Pentru l I (0, 1) ecuatiile (5) ne procura multimea punctelor de pe dreapta (d) cuprinse intre punctele M1 si M2, iar pentru l I R [0, 1] obtinem punctele dreptei (d), puncte exterioare segmentului M1M Pentru obtinem coordonatele mijloacelor segmentului M1M

Eliminarea parametrului l I R in ecuatiile (5) sau impunand proportionalitatea coordonatelor a doi vectori coliniari, obtinem


(6)


numite ecuatiile carteziene sub forma canonica ale unei drepte prin doua puncte.






loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }