QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Transformata Z si transformata Laplace discreta








Transformata Z si transformata Laplace discreta



Transformata Z


Fie un sir de numere reale sau complexe.

Se numeste transformata Z a sirului , functia de variabila complexa

.




Daca sirul dat satisface conditia , unde , atunci F(z) defineste o functie olomorfa in domeniul .

Relatia de mai sus, in care este definit F(z), reprezinta de fapt dezvoltarea acestei functii intr-o vecinatate a lui . Astfel, daca F(z) este data, pentru determinarea sirului se poate proceda astfel:

- se dezvolta F(z) in jurul lui , identificandu-se termenii sirului, sau

- se aplica formula de calcul pentru coeficientii dezvoltarii in serie Laurent: , unde este o curba simpla inchisa cu proprietatea ca in cu se afla toate singularitatile lui F(z) aflate la distanta finita.



Exemplu pentru determinarea sirului a carui transformata Z se cunoaste


Sa se deduca sirul daca trasformata sa Z este .


- Metoda 1):

Dezvoltam F(z) in jurul lui :

,

pentru  .

Rezulta: .


- Metoda 2):

Aplicam formula de calcul a coeficientilor dezvoltarii in serie Laurent:

.

Conform teoremei reziduurilor:

;

.



Transformata Laplace discreta


Fie . Daca , atunci f se numeste functie original discreta.

Se numeste transformata Laplace discreta a functiei (original discrete) f, functia de variabila complexa, notata , data de:

.


- Observam ca se obtine din F(z) (transformata Z), luand in definitia acesteia .

- De asemenea, se observa ca exista pentru

Notatie: legatura dintre f(n) si se noteaza: f(n) sau .

Are loc formula de inversiune: .





Exemplu de calcul si de notatie pentru transformata Laplace discreta


Sa calculam transformata Laplace discreta pentru .


Conform definitiei, ;

(se subintelege ca , pentru ca trebuie sa fie functie original discreta, adica ).

Deci, (sau ).


Daca , atunci (sau ).



Proprietatile transformatei Laplace discrete si reguli de calcul


- Liniaritatea

Daca , , atunci .

- Teorema deplasarii

Daca f(n) , atunci .


Exemple pentru teorema deplasarii si liniaritatea transformatei Laplace discrete


Sa calculam transformata Laplace discreta a functiilor .


Folosind formulele lui Euler, rezulta:

.

Din liniaritate si din teorema deplasarii, avem:

;

;

.

Prin urmare:

;

.


- Teorema intarzierii

Daca f(n) , atunci:

(i) ;

(ii) .


Exemple pentru teorema deplasarii si liniaritatea transformatei Laplace discrete


Sa calculam transformata Laplace discreta a functiilor .


Folosind formulele lui Euler, rezulta:

.

Din liniaritate si din teorema deplasarii, avem:

;

;

.

Prin urmare:

;

.






- Teorema de derivare in raport cu un parametru

Daca f(n,x) , atunci .

- Teorema de derivare a imaginii (a transformatei Laplace discrete)

Daca f(n) , atunci .


Exemplu pentru teorema de derivare a transformatei Laplace discrete


Sa calculam transformata Laplace discreta a functiei original disctreta.


, conform teoremei de derivare a imaginii.

Dar si prin urmare rezulta:

.



- Teorema de integrare a transformatei Laplace discrete

Daca f(n) , atunci .

- Transformata Laplace discreta a diferentelor divizate de ordin k ale originalului

Daca f(n) , atunci .


Definitia diferentelor divizate de ordin k


Fiind data , diferentele divizate asociate lui f se definesc recursiv, astfel:

;

.


Observatie:

.



- Transformata Laplace discreta pentru o suma finita de functii original

Daca f(n) , atunci g(n) .

- Teorema inmultirii (transformata Laplace discreta a produsului de convolutie)

Daca  f(n) si g(n) , atunci .


Definitia produsului de convolutie (discret)

Daca , atunci produsul lor de convolutie, notat , este dat de:

.



Folosind regulile de calcul de mai sus, se pot deduce si se poate intocmi o lista de transformate Laplace discrete folosite des in aplicatii.



Lista de transformate Laplace discrete


; ;

         ; ;

; ;

; ;

; ;

.



loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }