QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Semigrupuri. Definitie . Proprietati.








- semigrupuri. Definitie . Proprietati


In acest paragraf introducem notiunea de semigrup de operatori liniari, prezentam proprietatile fundamentale ale acestuia, precum si exemple de semigrupuri de operatori liniari in spatii Banach.


Fie X un spatiu Banach real sau complex. In tot ceea ce urmeaza, notam cu B(X) algebra Banach a operatorilor liniari si marginiti pe X .





Definitia I.1.1. O familie S = B(x) se zice semigrup de operatori daca indeplineste urmatoarele conditii:

(i) S(0) = I , identitatea pe spatiul X;

(ii) S(t+s) = S(t)S(s), pentru orice t , s 0.


Daca in plus, are loc


(iii) S(t)x = x, pentru orice x X


atunci S = se zice de clasa sau - semigrup.


Fie S = un - semigrup pe X . Consideram multimea


D(A) : = .


Remarca I.1.1. D(A) este un subspatiu liniar in X.



Definitia I.1.2. Operatorul

A : D(A) X, Ax : =

se numeste generatorul infinitezimal al - semigrupului S = .


Vom prezenta acum doua exemple importante de - semigrupuri.


Exemplul I.1.1. Fie AB(X) si pentru fiecare t0, fie

S(t) : XX, S(t)x : =x.

Observam ca S(0) = I , iar pentru t,s 0 avem succesiv:


S(t)S(s) = =


==


= = = S(t+s).

In plus, avem ca


= = pentru t0.


Din cele de mai sus, deducem ca S = este un - semigrup.

Uzual acesta se noteaza cu si X = : = , respectiv S= , atunci


S(t)= S(t) , t

Demonstrație : Fie x D(A) și t>0. Definim


u(s)= S , [0,t].


Din Teorema I.1.2. rezulta ca


(s)= , s.


Inseamna ca u este constanta . In particular , u(0)=u(t), deci


S,        

Din proprietatea de densitate a domeniului generatorului , obținem in final ca


S    

Definiția I.1.3. O familie U=se zice daca indeplinește urmatoarele condiții :


(i) U(0) = I , identitatea pe spațiul X;



(ii) U(t+s)= U(t)U(s), pentru orice t,s ;

(iii) U(t)x=x , pentru orice x ;


In mod analog cu cazul semigrupurilor , pentru un C- grup introducem mulțimea


D(A):.


Remarca I.1.2. D(A) este un subspațiu liniar in X.

Definiția I.1.4. Operatorul

A : D(A) Ax:=

se numește generatorul infinitezimal al grupului U = .


Definiția I.1.5. Spunem ca un C- semigrup S= poate fi extins la un C- grup daca exista un C- grup U= astfel incat U(t)=S(t) , t


Problema : In ce condiții un C- semigrup poate fi extins la un C- grup?

In continuare, vom raspunde problemei de mai sus. Pentru inceput, demonstram :


Teorema I.1.3. Fie S= un C- semigrup pe X, iar A generatorul sau infinitezimal. Daca pentru fiecare t>0, S(t) este inversabil , atunci


S t>0

formeaza un C- semigrup Sal carui generator infinitezimal este A.


Demonstratie. Din principiul lui Banach de inversare, avem ca S, pentru orice t > 0. Observam imediat ca S= I si S=S,pentru orice t , s .

Fie x X. Din S(1) inversabil rezulta ca exista y X si x S(1)y.

Atunci pentru orice t (0,1) avem


, pentru t,

de unde concluzionam ca S este un C- semigrup. Sa notam cu B generatorul sau infinitezimal si fie M si > 0 astfel incat

, .

Fie x D(A). Avem ca


Rezulta ca x D(B) si Bx = x , deci D(A) D(B). In mod analog se arata ca

D(B) D(A), care incheie demonstratia.


Teorema I.1.4. Fie S =un C- semigrup. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) S poate fi extins la un C- grup;

(ii) exista tastfel incat S(t) este inversabil;

(iii) pentru orice t>0, S(t) este inversabil.


Demonstratie. (i)(ii) Daca S poate fi extins la grupul U, atunci pentru fiecare

t > 0 avem ca S(t) este inversabil si S(t)= U(-t).

(ii) (iii) Fie t > 0. Atunci exista n astfel incat nt > t.

Din

S(nt)=S(nt-t)S(t)



si S(t) injectiv, rezulta ca S(t) este injectiv. Din

S(nt)= S(t)S(nt-t

si S(t) surjectiv , deducem ca S(t) este surjectiv, deci este inversabil.

(iii)(i) Definim


U(t)=

si din Teorema I.1.3. deducem imediat ca este un C- grup.



loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }