ξ I. Derivata unei functii intr-un punct
I.0o Originea notiunii de derivata
Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.
I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct
Fie o functie f : E → R (E R) si , x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca f este definita in x0.
DEFINITIA 1:
1) Se spune ca f are derivata in punctul x0, daca exista ( in )
notata cu f'(x0);
2) Daca derivata f'(x0) exista si este finita se spune ca functia f este derivabila in
x0.
Observatii. 1. Se poate intampla ca f'(x0) sa existe si sa fie .
2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii
nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).
Presupunem ca f'(x0) exista; facand translatia x - x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca
DEFINITIA 2:
Daca o functie f: E → R este derivabila in orice punct al unei submultimi F E, atunci se spune ca f este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F → R, x → f'(x) se numeste derivata lui f pe multimea F si se noteaza cu f'. Operatia prin care f' se obtine din f se numeste derivarea lui f.
TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.
Demonstratia este simpla: Presupunem ca f: E → R este derivabila in punctul x E, deci limita din definitia 1 exista si este finita.
In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine.
In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite.
DEFINITIA 3.
Fie E R si x0 E un punct de acumulare pentru E . Daca limita
exista (in R barat ), atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x0.Daca , in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca f este derivabila la stanga in punctul x0.
In mod similar se definesc derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in x0.
TEOREMA 2. Daca f: E → R este derivabila in punctul x0 E, atunci f este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si
Reciproc, daca f este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si daca , atunci f este derivabila in x0 si
Daca E=[ a, b], faptul ca f este derivabila in a (respectiv b) revine la aceea ca f este derivabila la dreapta in punctul a (respectiv la stanga in b).
Exemplu : Pentru f : R→R, f(x) =| x |, avem
Similar se obtine ca:
,
regasim ca f nu este derivabila in punctul x = 0.
