Testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum redus

TESTAREA IPOTEZEI PRIVIND DIFERENTA DINTRE DOUA MEDII PENTRU ESANTIOANE DE VOLUM REDUS

In cazul in care dorim sa testam semnificatia diferentei dintre mediile a doua esantioane de volum redus, va trebui sa construim, ca si in cazul an­te­rior, o statistica t, Student. Pentru aceasta vom presupune ca:

- ambele colectivitati generale din care s-au extras esantioanele sunt normal sau aproximativ normal distribuite;

- dispersiile in cele doua colectivitati generale sunt egale;

- esantioanele aleatoare sunt selectate independent unul de celalalt.

In conditiile in care presupunem ca cele doua colectivitati generale au dispersii egale (= =), un estimator al dispersiei (variabilitatii) totale din cele doua populatii combinate este:

sau

.

Asadar, dispersia combinata este media aritmetica pon-derata a disper­siilor celor doua esantioane, si .

Daca dispersiile nu sunt egale (σ²_x1≠σ²_x2), atunci testul statistic are forma:

cu gradele de libertate:

Ipotezele statistice vor fi, in aceste conditii:

- pentru test bilateral;

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁ μ₂ = D),

H₁: μ₁ ≠ μ₂ (μ₁ μ₂ ≠ D),

- pentru test unilateral dreapta;

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁ μ₂ = D),

H₁: μ₁ > μ₂ (μ₁ μ₂ > D),

- pentru test unilateral stanga;

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁ μ₂ = D),

H₁: μ₁ < μ₂ (μ₁ μ₂ < D).

Testul statistic t va avea forma:

.

Regiunea critica este data de:

- pentru test bilateral: t< -t sau t> t;

- pentru test bilateral dreapta: t> t;

- pentru test bilateral stanga: t< - t.

Exemplu:

Presupunem ca dorim sa testam ipoteza conform careia intre doua marci de autoturisme nu exista diferente semni-ficative privind cheltuielile de functionare. Pentru aceasta 20 de posesori de autoturisme (8 posesori ai primei marci si 12 posesori ai celei de-a doua) sunt rugati sa tina, cu acuratete, evidenta cheltuielilor de functionare pe o perioada de un an de zile. Pentru α=0,1 (probabilitate de garantare a rezultatelor (1-α)100 = 90%) sa se testeze aceasta ipoteza, daca rezultatele prelucrarii datelor in esanti­oane sunt:

Marca 1 Marca 2

n₁=8 n₂=12

mil. lei   mil. lei

s_x1=0,485 mil. lei  s_x2=0,635 mil. lei

Ipotezele statistice sunt:

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁ - μ₂ = 0),

H₁: μ₁ ≠ μ₂ (μ₁ - μ₂ ≠ 0) [μ₁> μ₂  sau μ₁< μ₂].

Testul statistic este:

Cum t_α/2,n1+n2-2= t_0,05;18 = 1,734, se observa ca t < t_α/2,n1+n2-2, asadar nu ne aflam in regiunea critica.

Rezulta, deci, ca nu exista suficiente dovezi pentru a concluziona ca sunt diferente semnificative intre cheltuielile de functionare ale celor doua marci de autoturisme.

Trebuie sa facem o remarca asupra presupunerilor privind normalitatea distributiei in colectivitatea generala: teoria statistica a dezvoltat teste pentru verificarea normalitatii distributiilor, teste prin care se verifica ipoteza nula conform careia legea de repartitie este cea normala N(μ, σ²), cu μ si parametrii necunoscuti ce urmeaza a fi estimati pe baza datelor esantionului considerat. Cele mai cunoscute teste pentru verificarea norma­litatii sunt: testul χ² de concordanta cu legea normala, testul Kolmogorov Smirnov, testul de normalitate al lui Lilliefors.

Daca ipoteza nula nu este acceptata, vom putea apela la teste sta­tistice neparametrice, in cadrul carora nu se fac presupuneri speciale asupra formei distributiei.

TESTAREA IPOTEZEI PRIVIND DISPERSIA UNEI POPULATII

Suma patratelor diferentelor (care este, de fapt, egala cu sau pentru esantioane mici), impartita la dispersia colectivitatii generale, are o distributie hi-patrat () (daca populatia esantionata este normal distribuita).

Asadar, testul statistic utilizat in testarea ipotezei privind este:

,  

care are o distributie cu (n-1) grade de libertate, cand populatia esantionata este normal distribuita, cu dispersia .

Valoarea lui pentru care aria de sub curba (situata la dreapta ei) este egala cu α, se noteaza . Nu putem folosi notatia pentru a reprezenta punctul la care aria din stanga este α, deoarece statistica este intotdeauna mai mare decat zero. Dar reprezinta punctul pentru care aria de sub curba situata la stanga lui este α.

Spre exemplu:

Ipoteza nula este:

cu ipoteze alternative:

pentru test bilateral ,

pentru test unilateral drept ,

pentru test unilateral stang .

Regiunea critica este data de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stanga.

Exemplu:

Pentru urmatoarele date privind cererea unui produs (selectate dintr-o colectivitate normal distribuita), sa se testeze (pentru o probabilitate de 95%), ipotezele:

,

.

Datele sunt: 85, 59, 66, 81, 35, 57, 55, 63, 63, 66.

In esantion: , .

.

Testul statistic este:

.

Cum ,

si vom respinge ipoteza nula si vom accepta ipoteza alternativa, .

Factorii ce identifica testul privind dispersia unei populatii:

Obiectiv: caracterizarea unei colectivitati;

Aspectul vital: variabilitatea;

Tipul datelor: cantitative.

TESTAREA IPOTEZEI PRIVIND RAPORTUL DINTRE DOUA DISPERSII

Am vazut ca testarea ipotezei privind dispersia poate fi utilizata pentru a trage concluzii referitoare la consistenta unor procese economice ori privitoare la riscurile asociate. In continuare vom compara doua dispersii, ceea ce ne va permite sa comparam consistenta a doua procese sau riscurile a doua portofolii de investitii etc.

Statisticienii testeaza, adesea, egalitatea dintre doua dispersii inainte de a decide ce procedeu sa foloseasca in verificarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii.

Vom compara dispersiile a doua populatii, determinand raportul dintre ele. In consecinta, parametrul ce ne intereseaza este . Daca dispersia esantionului este (asa cum am vazut) un estimator nedeplasat si consistent al dispersiei colectivitatii generale, sa notam ca raportul este estimator punctual al raportului de dispersii .

Distributia de esantionare a raportului este o distributie F, daca esantioanele au fost extrase independent din populatii normal distribuite.

Valoarea lui F pentru care aria de sub curba (situata la dreapta ei) este α, se noteaza cu F_α (cu gradele de libertate gl₁ si gl₂).

Din matematica stim ca raportul dintre doua variabile hi-patrat independente impartite la gradele lor de libertate are o distributie F. Gradele de libertate ale distributiei F sunt identice cu gradele de libertate ale celor doua distributii hi-patrat. Atunci:

,

cu si grade de libertate.

In cele ce urmeaza, ipoteza nula este intotdeauna specificata ca egalitatea intre doua dispersii, adica sub forma egalitatii raportului cu unitatea.

.

Ipoteza alternativa poate fi construita astfel: fie ca raportul este diferit de 1, fie mai mare, fie mai mic decat 1.

Tehnic, testul statistic este , dar in conditiile ipotezei nule, adica , testul statistic devine: , care urmeaza o distributie F cu si grade de libertate.

Regiunea critica este data de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stanga.

Trebuie facuta observatia ca:

unde:

	gl1 = n1 -1 gl2 = n2 -1

Exemplu:

Un analist doreste sa compare imprastierea veniturilor pe familie, pentru colectivitatea turistilor ce prefera turismul litoral, cu imprastierea veniturilor, pentru colectivitatea turistilor ce prefera turismul balnear. Presupunand ca distributiile veniturilor (mil. lei), in cele doua colectivitati sunt aproximativ normale au fost selectate doua esantioane, de volum 60 si 50 de persoane, iar abaterile medii patratice (mil. lei) sunt: si . Se utilizeaza o probabilitate de garantare a rezultatelor de 95%.

Ipotezele statistice sunt:

,

.

Testul statistic are valoarea:

.

Regiunea critica (pentru ) este data de:

.

Cum ipoteza nula se respinge (aceea ca raportul dintre dispersii este 1) si se accepta ipoteza alternativa. Acest lucru inseamna ca se accepta ipoteza conform careia imprastierea veniturilor pentru turistii din zona litorala este semnificativ mai mare decat cea a turistilor din zona balneara.

In general - daca la numarator se trece dispersia cea mai mare - testul F este un test unilateral dreapta.