Dreapta - Probleme

1. Fie dreapta oarecare (D) (d,d ,d') definita de punctele A si V . Sa se construiasca proiectiile dreptei (D) si proiectiile urmelor sale; sa se determine traseul dreptei (D). A(60,50,10) V(20,0,30).

2. Fie dreapta oarecare (D) (d,d ,d') definita de punctele A si B . Sa se construiasca proiectiile dreptei (D) si proiectiile urmelor sale; sa se determine traseul dreptei (D).

A(17, 42, 5 ) I I₁ si B(-45,- 5, 23 ) I I₂.

3. Se considera dreapta (D) definita de punctele A si B.

Prin punctul I(20,y_D,z_D) situat pe dreapta (D), sa se construiasca dreapta orizontala (D₁) care face cu planul lateral [L] un unghi de 30^o.

A(10, 77, 12 ) I I₁ si B(-25, 32, 10) II₂.

Sa se construiasca orizontala (O)=(AB) concurenta cu frontala (F)=(AC) .

A(70, 20, 15), B(10, 52, z_B) si C(50, 20, 35) .

5. Sa se construiasca dreptele concurente (D₁)=(AB) si (D₂)=(AC). A(65, 20, 10), B(80, 30, -5) si C(15, 50, 10) . Ce dreapta este (AC)?.

6. Prin punctul A(40, 30, 20) sa se construiasca o frontala care face un unghi de 45^o cu planul [H]. Sa se construiasca un segment AB pe frontala de 40 mm. In punctul A sa se ridice o drepta (D) perpendicula pe frontala.

7. Prin punctul A(50, 35, 25) sa se construiasca o orizontala care face un unghi de 30^o cu planul [V]. Sa se construiasca un segment AB pe orizontala de 40 mm. In punctul A sa se ridice o drepta (D) perpendicula pe orizontala.

Fie punctul A(40,30,20). Sa se duca prin A o Orizontala (O) ce formeaza un unghi de 45^o cu planul [V] si o frontala (F) ce formeaza un unghi de 60^o cu [H]. Sa se construiasca triunghiul ABC dreptunghic in B astfel ca AB = 45 mm, BI (O) si punctul C I (F).

Fie punctul A(40,30,20). Sa se duca prin A o frontala (F) ce formeaza un unghi de 45^o cu planul [H] si o orizontala (O) ce formeaza un unghi de 60^o cu [V]. Sa se construiasca triunghiul ABC dreptunghic in B astfel ca AB = 45 mm, BI (O) si punctul C I (F).

10. Sa se construiasca o dreapta frontala (F) perpendiculara pe o dreapta oarecare (D) definita de punctele A si B intr-un punct M(-10,y_D, z_D) al acesteia.

A(17, 42, 25) si B(-35,45, 15).

11. Fie punctul N(30, y_D, z_D) situat pe o dreapta (AB); Prin punctul N sa se construiasca o dreapta de profil (D₁), perpendiculara pe (AB).

A(20, 18, 35) si B( 40, 35, 15).

12. Sa se construiasca un triunghi isoscel ABC, avand laturile //AB//=//AC//=30 mm si sa se determine centrul de greutate G  al acestuia.

A(35, 20, 40) (AB) frontala, (AC) orizontala.

Indicatii:

Prin A se construiesc o frontala (AB) si o orizontala (AC) concurente, pe care se pot masura adevaratele marimi ale laturilor congruente. Centrul de greuate G se afla la intersectia medianelor /NC/ si /MB/.

Fie dreapta frontala (F) definita de punctele A ( 90,30,0) si L(0,30,75). Prin punctul M(20,55,20) sa se construiasca perpendiculara pe (F).

Fie punctul A(40,30,20). Sa se duca prin A o orizontala (O) ce formeaza un unghi de 45^o cu planul [V] si o frontala (F) ce formeaza un unghi de 60^o cu [H]. Sa se construiasca triunghiul ABC dreptunghic in B astfel ca AB = 45 mm, BI (O) si punctul C I (F).

Prin punctul C(15,20,35) sa se construiasca perpendiculara pe dreapta definita de punctele A(90,15,25) si B(25,55,25).

Sa se construiasca urmele planului [P] definit de frontala (F), perpendiculara in punctul A pe dreapta oarecare (D)=(AB), A(30, 5, 25) si B(10, 35, 0).

T planul [P] definit de Px(95,0,0), Py(0,60,0), Pz(0,0,100). Punctele A(50, 20, zA), B(30,yB,20), C(20,0,zC) apartin planului. Sa se construiasca triunghiul ABC in planul [P].

T Sa se construiasca perpendiculara din punctul M (35, 30,25), pe planul [P] de capat, definit de Px(80,0,0), A(0,0,70). Sa se determine punctul de intersectie I .

Sa se intersecteze planul [P] Px(80,0,0), H(0,70,0), V(0,0,60) cu un plan de nivel [R] cu z=40.

Sa se construiasca dreapta de intersectie.

Sa se determine adevarata marime a segmentul /AB/, A(50, 10, 15), B(10,35, 50), prin metoda rotatiei si rabaterii. Sa se costruiasca triunghiul echilateral ABC in planul de capat [P], definit de dreapta (AB).

Sa se construiasca sectiunea rezultata din intersectia dintre o piramida dreapta ABCS cu baza in planul orizontal de proiectie si un plan [P] de capat. Sa se determine adevarata marime a sectiunii si sa se desfasoare poliedrul rezultat. Se dau A(70, 30, 0), B(40, 40, 0), C(55, 10, 0), inaltimea piramidei h=60mm, P_x(15, 0, 0), M(60, 0, 30)I[P].

Sa se sectioneze un cilindru circular drept cu baza intr-un plan de proiectie [V], un cerc cu centrul in O₁ si raza R₁, cu un plan vertical [P] (Px,M)=> P_x(35, 0, 0), M(90, 60, 0). Inaltimea cilindrului este de 70 mm . Cilindrul are centrul bazei in O₁(60, 0, 40), R₁=25 mm.

Sa se construiasca, in adevarata marime, sectiunea rezultata, desfasurata cilindrului si a trunchiului de cilindru.

Sa se sectioneze un con circular drept cu baza, in planul orizontal de proiectie, un cerc cu centrul O₁(60, 40, 0) si raza R₁=25 mm, cu un plan proiectant [P], P_x(20, 0, 0), M(80, 0, 50), plan de capat. Varful conului este S(60, 40, 65). Sa se determine adevarata marime a sectiunii si sa se desfasoare trunchiul de con situat sub planul [P].

1 Urmele planului definit de punctele:

I) A( ), B(10, ) si C(

II)A(70, 20, 15), B(10, 52, 15) si C(50, 20, 35)

Ce drepte se obtin?

a) Se traseaza dreptele;

b) Se definesc urmele dreptelor;

c) Se traseaza urmele planului.

2 Constructia triunghiului isoscel definit de:

a) A( frontala (F) si orizontala (O)

AI (F), AI (O) <(F)[H]=60, <(O)[V]=45.

b) Punctele B si C unde |AB|=|AC|=40

BI (F), CI (O),

3 Fie dreapta (AB):

A(2 , 35) si B( 4

a) Sa se construiasca planul [P] ce contine dreapta (AB);

b) Din punctul M(70,50,70) sa se duca o dreapta

perpendiculara la planul [P];

c) Care este punctul I de intersectie a dreptei cu planul?

I) [P] de capat II) [P] vertical.

Prisma dreapta cu baza un triunghi echilateral A(70,35,0) B(45, 10,0) h=55

[P] plan de capat Px(5,0,0) M(75,0,40)

Fie prisma patrulatera dreapta [ABCA1B1C1] cu baza un triunghi echilateral [ABC] I [H] si inaltimea / AA1 /=55 mm, A(70,35,0) B(45, 10,0) h=55

Prisma se intersecteaza cu planul [P], plan de capat Px(5,0,0) M(75,0,40).

Se cer :

1 Constructia prismei;

2 Constructia planului [P];

3 Sectionarea prismei cu planul de capat, constructia sectiunii;

4 Rabaterea planului [P] pentru adevarata marime a sectiunii;

Sa se desfasoare poliedrul rezultat prin sectionarea piramidei cu planul de capat [P]

Fie piramida patrulatera dreapta [VABC] cu baza un triunghi echilateral [ABC] I [H] si inaltimea / VG /=55 mm, A(70,35,0), B(45, 10,0) si h=55.

Piramida se intersecteaza cu planul [P], plan de capat definit de Px(5,0,0) M(75,0,40).

Se cer :

1 Constructia piramidei;

2 Constructia planului [P];

3 Sectionarea piramidei cu planul de capat, constructia sectiunii;

4 Rabaterea planului [P] pentru adevarata marime a sectiunii;

Sa se desfasoare poliedrul rezultat prin sectionarea piramidei cu planul de capat [P] .

Sa se construiasca piramida [SABCD] cu baza ABCD I[P], unde Px(60, 0, 0) si M(0,65,0), A(40,yA,5 I[P]

//AB//=25 mm, //AD//=40 mm,

//SW//=50 mm, /AB/I(D1) si /AD/ I(D2)

(D1)-dreapta orizontala si (D2)-dreapta verticala

Sa se construiasca in planul de capat [P] determinat de punctele A(45,10,35), B(35,30,40) un patrat [ABCD].

Sa se construiasca prisma dreapta cu baza [ABCD] si de inaltime h=60 mm. Sa se intersecteze prisma cu un plan de nivel z=50 mm.

Sa se desfasoare prisma rezultata in urma intersectiei.

Se parcurg etapele:

1 Constructia planului [P];

2 Punctele A si B;

3 Rabaterea planului ȋn planul [H], definirea patratului ȋn adevarata marime;

4 Ridicarea rabaterii, pentru punctele C, D;

5 Construirea prismei pornind de la muchiile din plan [V] frontale, cu lungime de 60;

6 Vizibilitatea prismei;

7 Desenarea planului de nivel, definirea punctelor de intersectie dintre planul [N] si piramida.

Se se construiasca epura unei piramide dreapte [ABCS] cu baza un triunghi echilateral [ABC] I[P] (Px, A), centrul cercului circumscris bazei este GI[P] si inaltimea piramidei //GS//=60 mm. Sa se intersecteze piramida cu un plan [R], [R]//[P] aflat la distanta d de acesta. Sa se desfasoare trunchiul de piramida rezultat in urma intersectiei. (tabelul 4.13).

Modelul de rezolvare este pentru varianta nr. 12 (fig.4.26 a,b):

P_x( [P] plan de capat, A(125, 65, 60), G(110, 40, zG), d=30 mm

Indicatii:

Se determina planul [P] punctul G si se rabat planul [P] si punctele A si G in planul [H] unde se construieste triunghiul echilateral A₀B₀C₀ inscris in cercul de centru R ce trece prin A cu centrul in G. Se ridica rabaterea si se construieste inaltimea piramidei intial in planul [V] de 60 mm. Inaltimea piramidei este perpendiculara pe urmele planului [P]. Se construiesc proiectiile muchiilor piramidei, avandu-se in vedere vizibilitatea lor si urmele planului [R], paralele cu urmele planului [P]. Se definesc proiectiile [1'2'3'] si [123] triunghiului de intersectie a piramidei cu planul [R]. Pentru construirea desfasuratei piramidei este necesara cunoasterea dimensiunilor muchiilor. Se roteste muchia (AS) in jurul lui S pana ce devine o frontala (A₁S₁) , segmetul de frontala /a'₁s'₁/ defineste valoarea reala a muchiilor. Desfasurata se construieste pornind de la triunghiul echilateral [ABC] si construind initial fetele laterale ale piramidei. Segmentul /S 1/ =/1'₁s'₁/ se gaseste in adevata marime pe frontala (A₁S₁).

Fig. 4.26, a

Fig. 4.26, b

Se se construiasca epura unei prisme dreapte [ABCA₁B₁C₁] cu baza un triunghi echilateral [ABC] I[P] (Px, A); [P] plan vertical, centrul cercului circumscris bazei este GI[P] si inaltimea prismei h=80 mm. Sa se intersecteze prisma cu un plan [R], [R]//[V] aflat la distanta d de acesta. Sa se desfasoare trunchiul de prisma rezultat in urma intersectiei. (tabelul 4.14).

Modelul de rezolvare este pentru varianta nr. 12 (fig.4.27 a,b):

P_x(30, 0, 0) si A(60, 25, 60), B(100, xB, 20), d=80

Tabelul 4.14

Indicatii:

Se determina planul [P], punctul B, continut in planul [P] si se rabat planul [P] si punctele A si B in planul [H] unde se construieste triunghiul echilateral A₀B₀C₀ Se ridica rabaterea pentru punctul C (c,c') si se construiesc muchiile prismei (segmente pe orizontale), perpendiculare pe urmele planului [P] de 80 mm, intial in planul [H], avandu-se in vedere vizibilitatea lor. Se construieste urma (R_h) a planului [R], paralela cu (Ox).  Se definesc proiectiile [1'2'3'] si [123] triunghiului de intersectie al prismei cu planul [R]. Pentru construirea desfasuratei prismei este necesara cunoasterea dimensiunilor muchiilor. Muchiile prismei sunt segmente de frontala, valoarea reala a muchiilor fiind de 80 mm in planul [H]. Desfasurata se construieste pornind de la triunghiul echilateral [ABC] si de la fetele laterale ale prismei. Segmentul /A 1/ =/a1/ se gaseste in adevata marime pe orizontala (AA₁).

Fig. 27,a

Fig. 27,b