Teorema de structura a multimii caracteristice pentru operatori T= I-U cu U compact

Teorema de structura a multimii caracteristice pentru operatori T= I-U cu U compact

Teorema asupra multimii caracteristice a unui operator compact se extinde la operatorii de forma considerata in teorema anterioara . Anume are loc

Teorema IV.3.1. Daca pentru un m oarecare operatorul este compact atunci

1) multimea caracteristica a operatorului U consta numai din valori caracteristice iar fiecare valoare caracteristica are rang finit si subspatiul propriu corespunzator este finit dimensional ; 2) in fiecare disc al planului complex se afla numai un numar finit de valori caracteristice

Demonstratie. Tinand seama de rezultatul lemei IV.2.2 ne putem limita la demonstrarea primului punct al teoremei. In plus prima parte rezulta in mod evident din teorema IV.2.3. Prin urmare ramane de demonstrat doar finitudinea dimensiunii subspatiului propriu corespunzator.

Fara a se restrange generalitatea se poate presupune ca valoarea proprie considerata este Pe baza dezvoltarii (18) se poate scrie

Deoarece operatorii comuta intrei ei avem

De aici rezulta ca

Astfel deoarece este operator compact si tinand seama ca pentru astfel de operatori afirmatia a fost deja stabilita  putem conchide pe baza relatiei (19) ca aceasta afirmatie este valabila si in cazul considerat.

In incheiere sa dam un exemplu de operator liniar continuu U care nu este compact dar este compact.

Fie X unul din spatiile Pentru sa punem

Evident

Observatie. Intrucat teoremele din capitolul III demonstrate pentru operatorii compacti, au folosit doar acele proprietati ale operatorilor compacti care sunt incluse in teorema I.2.1. si teorema III.2.1. iar acele teoreme se extind fara modificare la cazul operatorilor de forma considerata mai sus, rezultatele mentionate sunt de asemenea adevarate daca se presupune doar ca o anumita putere a operatorului U este compacta.