Spatii vectoriale Euclidiene

Ce este un spatiu vectorial Euclidian?

Definitia 1. Fie V un spatiu vectorial complex. Se numeste produs scalar o aplicatie < , > : V C care are proprietatile:

i) <v,w>=<w,v>, v,wV;

ii) <u, v+w>=<u, v>+<u, w>, u,v,w V;

iii) a<v,w>=<av,w>, aC si u,v V;

iv) <v,v> 0 si <v,v>=0 daca si numai daca v=0.

Observatia 2 Produsul scalar are proprietatile:

i) <v,aw>=<v,w>, a C, v, w V.

ii) <u+v, w>=<u, w>+<v, w>, u,v,w V.

iii) Daca <x, y>=0, y V x=0 si daca <x,y>=<z,y>, pentru orice y

V, atunci x=z.

Un spatiu vectorial (real sau complex) pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorial Euclidian (real sau complex).

Observatia 3 1) Daca V este spatiu vectorial real, atunci axioma i) din Definitia 1. devine <v,w>=<w,v>, iar relatia <v, w>=<v,w> devine <v, w>= <v,w>.

2) Orice subspatiu vectorial al unui spatiu vectorial Euclidian este la randul sau euclidian, produsul scalar fiind acelasi.

Exemple:

R² impreuna cu produsul scalar <x,y>=x₁y₁+x₂y₂, unde x=(x₁, x₂), y=(y₁, y₂) R² este spatiu vectorial Euclidian real.

R³ impreuna cu produsul scalar <x,y>=x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃, unde x=(x₁, x₂,, x₃), y=(y₁, y₂,, y₃) R³ este spatiu vectorial Euclidian real.

Definitia 4. Fie V un spatiu vectorial real sau complex. Spunem ca aplicatia

||, ||: VR+ este o norma pe V daca satisface urmatoarele conditii pentru x,y V, K:

1) ||x| 0 si ||x||=0 daca si numai daca x=0.

x||=| | ||x||.

3) ||x+y|| ||x||+||y||.

Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma se numeste spatiu normat.

Exemple: 1) R ca R- spatiu vectorial este normat, cu functia valoare absoluta ca norma.

2. C este R-spatiu vectorial normat cu functia modul.

Propozitia 5. Orice spatiu vectorial Euclidian este normat. Norma obtinuta se numeste norma Euclidiana.

Observatia 6. 1) Din primele doua proprietati ale normei rezulta ca orice vector vV se poate scrie sub forma: v=||v|| e , unde ||e||=1. Vectorul e cu aceasta proprietate se numeste versor. Deci versorul asociat unui vector nenul v are expresia: e=

2) Fie V spatiu Euclidian real si v,w doi vectori nenuli.

Inegalitatea Cauchy-Schwarz: <v,w> ||v|| ||w||

Suntem in masura acum sa definim unghiul a doi vectori nenuli.

Definitia 6. Fie V spatiu Euclidian real si v,w doi vectori nenuli din V. Numarul [0 ] definit de egalitatea cos =<v,w>/||v|| ||w|| se numeste unghiul dintre v si w.

Definitia 7. Fie V o multime nevida. O functie d: V VR₊ care satisface conditiile:

1) d(u,v) 0; d(u,v)=0 u=v, u,v V,

2) d(u,v)=d(v,u), u,v V,

3) d(u,v) d(u,w)+d(w,v), u,v,wV,

se numeste distanta sau metrica pe V.

O multime nevida inzestrata cu o functie distanta se numeste spatiu metric.

Propozitia 8. Fie V un spatiu vectorial normat. Functia reala d: V VR₊, definita prin d(u,v)=||u-v||, este o distanta pe V.

Se observa ca orice spatiu vectorial normat este metric si ca orice spatiu vectorial Euclidian care este normat este metric.