QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Formulele Newton-Cotes de tip inchis








Formulele Newton-Cotes de tip inchis


Fie h=, nN și x=a+kh, .

Avem:


=.




Pe fiecare interval , , consideram punctele echidistante :

x+i, =,

Pe acest sistem de noduri consideram formula de interpolare a lui Newton:

f=p+r, unde :

p(x)=f(x)+>

r(x)=f<x,,x+,,x+s>

Pentru diferențele divizate folosim formula de calcul cu ajutorul diferențelor ascendente:

f< >=

Se  efectueaza in (9) și (10) schimbarea de variabila x=x+t

Obținem:

p(x+t)=f(x

r(x+t f(x

Remarca. In (12) pasul diferențelor ascendente este

Daca fC, exprimand diferența divizata din (13) cu ajutorul derivatei de ordinul s+1, obținem:

r(x+t)= (C(t)),

unde C este un punct intermediar punctelor x+t, x+i, .

Avem:

.

In ambele integrale din membrul drept efectuam schimbarea de variabila x=x+

Obținem:

Utilizand (12) rezulta:

Deoarece și (15) rezulta:

,

unde:

R(f)=

Formula (16) reprezinta forma generala a formulelor Newton Cotes de tip inchis.

Pentru studiul restului presupunem ca f. In acest caz avem:


Deci:

R(f)=

Cazuri particulare.

I.        Formula generalizata a trapezelor.

Aceasta fprmula se obține pentru m=s=1. Rezulta

Din (16) deducem:


Pentru n se obține formula :

(formula generalizata a trapezelor).

Pentru n=1 se obține formula clasica a trapezelor:

Studiul restului. Din (18) rezulta:

R(f)=

Folosind formula de medie pentru integrala, obținem:

R(f)=

Deoarece f rezulta ca exista un punct , astfel incat :

Obținem in final pentru rest expresia:

R(f)=-

II.     Formula generalizata a lui Simpson.

Aceasta formula se obține pentru m=2, s=3. In acest caz avem Din (16) rezulta:

Ultima integrala are valoarea zero. Apoi:

Pentru n dupa un calcul elementar, se obține formula:

(formul generalizata a lui Simpson).

Pentru n=1 se obține formula clasica a lui simpson:

Studiul restului. Din (18) rezulta:

R(f)=

Cu toate ca t(t-1)(t-2)(t-3) nu pastreaza semn constant pe se poate arata ca R(f) se poate scrie sub forma:


R(f)=

Se obține in final pentru rest evaluarea:

(22) R(f)=-

III.      Formula generalizata a lui Newton.

Aceasta formula se obține pentru m=s=3. In acest caz avem:

Din (16) rezulta:


            Deoarece:

dupa inlocuiri, pentru rezulta formula:

(formula generalizata a lui Newton).

Pentru n=1 se obține formula clasica a lui Newton:

Studiul restului. Din (18) rezulta:

R(f)=

Deoarece f, rezulta ca exista cu proprietatea :

In final se obține pentru rest expresia:

R(f)=- , .

Comentarii. 1. Pentru m=2q se poate lua s=m+1. Avem:

p(x+t)=p(x+)+f(x).

Deoarece:

,

rezulta:

și deci:

Formula (25) este exacta pentru polinoame de grad cel mult 2q+1.

Pentru m=s=2q+1 se obțin formule exacte pentru polinoame de grad cel mult 2q+1.

Din aceste motive, de obicei se prefera aplicarea formulelor de integrare numerica pentru m par.

Numarul n al punctelor se alege astfel incat valoarea absoluta a restului sa fie mai mica decat eroarea admisa. De exemplu, pentru a aproxima valoarea integralei cu eroarea data , folosind formula lui Newton (23), procedam astfel:

a) Daca se poate calcula numarul M=sup, sau un majorant al acestuia , atunci

x

vom lua pentru n cel mai mic numar natural cu proprietatea:

, respectiv

Cu n astfel determinat, vom aproxima valoarea integralei cu primul termen al membrului drept din formula (23).

b) Daca nu se poate calcula M și nici un majorant al acestuia, atunci pentru valori crescatoare ale lui n(obținute printr-un algoritm oarecare) calculatorul ne va da un șir de valori, aproximații pentru integrala. Pentru n suficient de mare, diferența in valoare absoluta intre doua valori consecutive va fi mai mica decat . Calculele pot fi oprite in acest moment.



. Formula lui Romberg. Formula:

din algoritmul de accelerare al lui Richardson, (formula (5) din capitolul IV), pentru x , devine:

, i, k

Fie aproximațiile integralei , calculate cu formula trapezelor (19), unde n=p2, p. Deci:

R

Metoda descrisa de formulele (26) și (27) se numește metoda lui Romberg.

Exemplul 1. Sa se aproximeze valoarea integralei cu eroarea , cu formula lui Newton.


Soluție. f(x)=

Condiția este echivalenta aici cu :

Rezulta n Cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate este 3. Vom lua n=3. Deci: x=0, x=, x=, =1.

Obținem:

Rezulta:

Valoarea exacta a integralei este ln2=0,69314718056.

Exemplul 2. Sa se calculeze cu o eroare , folosind formula lui Simpson.

Soluție. Derivata a patra a funcției f(x)= este :

f(x)=

Cei doi termeni din expresia lui f sunt pozitivi și descrescatori pe intervalul

Rezulta

Din:

rezulta n16,8. Vom lua n=3.

Deci: x=, x=, x=, x=.

Obținem:


Folosind al doilea procedeu se obțin rezultatele din tabelul urmator:


n

I






















Exemplul 3. In tabelul urmator sunt trecute rezultatele obținute aplicand formula lui Simpson pentru integrala:

Folosind al doilea procedeu, cu precizat.


n


















Exemplul 4. Pentru integrala:

din exemplul 1, aplicam acum metoda lui Romberg (26)+(27), cu p=1.

In tabelul care urmeaza apar primele patru coloane din tabloul lui Richardson:


k

R

R

R

R














































Valoarea exacta a integralei, cu 11 zecimale, este 0,69314718056.

Primele trei zecimale exacte, in prima coloana se obțin pentru k=4, deci prin insumarea a 2-1=15 termeni in (27). Cu același numar de termeni, se obțin in coloana a patra 8 zecimale exacte in R. Insumand termeni in , in se obțin 11 zecimale exacte.

Acest exemplu este ilustrativ pentru puterea de accelerare a algoritmului lui Richardson (formula (27) este obținuta din formula trapezelor).



loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }