Indici de crestere asociati unui C - semigrup

Indici de crestere asociati unui - semigrup

Fie X un spatiu Banach peste K, unde K . Fie S = un semigrup pe X, iar A : D(A) X generatorul sau infinitezimal. Pe D(A) vom considera norma de grafic inchis, definita prin

Consideram multimile

astfel incat

si

astfel incat .

Remarca 1. Din Teorema I.1.1. rezulta imediat ca Ř.

Propozitia 1. .

Demonstratie. Fie . Atunci exista M > 0 astfel incat :

In particular, daca , tinand seama ca se obtine ca

,

adica Deducem de aici ca .

Remarca 2. Din Propozitia 1. si Remarca 1. rezulta ca Ř.

Consideram

si respectiv

.

se numeste indicele de crestere uniforma al semigrupului S, iar

se numeste indicele de crestere marginita al semigrupului S.

Remarca 3. Din Propozitia 1. rezulta ca .

Vom prezenta in continuare, diverse formule de calcul pentru indicii de crestere introdusi mai sus.

Teorema 1. Daca este un semigrup atunci

.

Vom demonstra pentru inceput ca .

Fie Atunci exista M > 0 astfel incat

.

Prin logaritmare inegalitatea devine

De aici rezulta ca

de unde obtinem pentru orice adica

Reciproc, fie . Atunci exista astfel incat

<.

Fie . Pentru orice t > 0 exista un unic astfel incat De aici avem ca

unde . Am aratat in acest mod ca pentru orice exista M > 0 astfel incat

  (1.5)

adica . Obtinem de aici ca

Deci In concluzie

Fie acuma . Conform relatiei (1.5) exista M > 0 astfel incat

Asadar

   (1.6)

Trecand la limita in relatia (1.6) obtinem imediat ca

.

Rezulta ca exista

Fie S = un - semigrup si A generatorul sau infinitesimal.

Definitia 1. Multimea

este bijectiv si inversul sau

se numeste multimea rezolventa a operatorului A, iar se numeste aplicatia rezolventa in punctul .

Definitia 2. Multimea

se numeste spectrul operatorului A, iar numarul

se numeste supremumul realului spectrului operatorului A.

Remarca 4. Multimea rezolventa este o multime deschisa , iar spectrul este o multime inchisa.

In cele ce urmeaza vom prezenta o teorema de caracterizare pentru si legatura acestuia cu , respectiv cu s(A).

Fie un semigrup pe un spatiu Banach X, iar A generatorul sau infinitezimal. Consideram multimea :

si

si cu .

Teorema 2. In plus

Demonstratie. Vom demonstra ca in trei etape.

ETAPA 1. Aratam ca daca si pentru orice exista

atunci si .

Intr-adevar, fie cu proprietatea ca pentru orice exista

.

Sa observam ca pentru fiecare si fiecare t > 0 avem succesiv

=

=

Trecand la limita pentru deducem ca si

deci

   (1.7)

Fie acum Observam ca

.   (1.8)

Notam cu

Atunci si conform (1.8) deducem ca

Din faptul ca A este un operator inchis, rezulta ca si

Atunci din (1.7) avem ca

   (1.9)

Am demonstrat in acest mod ca () este inversabil si ca este inversul sau.

Fie cu si . Notam cu , oricare ar fi . Atunci , pentru orice .

Asadar si

.

Cum A este inchis deducem de aici ca si . Rezulta ca deci este inchis . Conform Principiului graficului inchis obtinem ca Rezulta ca si , deci prima etapa este demonstrata.

Din aceasta etapa deducem ca daca si numai daca pentru orice cu si orice exista .

ETAPA 2. .

Fie Atunci exista astfel incat

si .

Demonstram ca oricare ar fi si cu exista

.

Pentru aceasta consideram urmatoarele cazuri :

CAZUL I. Presupunem ca Atunci, pentru orice , avem

Din relatia de mai sus rezulta ca pentru orice exista c > 0 astfel incat

De aici, deducem ca exista

.

CAZUL II. Fie cu . Atunci, oricare ar fi r > 0 avem

.

Din

pentru

deducem ca exista

.

CAZUL III. Fie si Din identitatea rezolventei

si din cazurile anterioare se obtine ca exista .

Din demonstratia de mai sus si din Etapa 1, rezulta ca .

ETAPA 3.

Fie Atunci si

Fie cu Analog ca an ETAPA 2, Cazul II, avem ca

Rezulta ca aici exista , oricare ar fi . Prin urmare exista astfel incat

.

Din Principiul marginirii uniforme deducem ca exista astfel incat

Asadar

Fie si cu Daca atunci

.

Cum

obtinem ca

.

Pentru , facand obtinem :

.

Rezulta ca , deci . In concluzie, am obtinut ca

.  (1.9)

Din (1.9) rezulta .

Corolarul 1. Pentru un semigrup cu generatorul infinitezimal A avem

.

Demonstratie. Am vazut ca . Din Teorema 2. rezulta ca oricare ar fi avem .

Asadar

.

Prin urmare

Exercitiul 1. Fie S = un semigrup pe spatiul Banach X , iar A generatorul sau infinitesimal. Sa se arate ca :

(i) daca

atunci

(ii) daca

atunci

Fie S = un semigrup pe spatiul Banach X cu generatorul infinitezimal .

Definitia 3. Numarul

se numeste raza spectrala a operatorului A.

Remarca 5. adica spectrul este continut in discul deschis centrat in origine si de raza egala cu raza spectrala.

In continuare, vom demonstra ca in cazul semigrupurilor generate de operatori liniari si marginiti, supremumul realului spectrului este egal cu indicele de crestere uniforma.Pentru aceasta, avem nevoie de urmatoarea teorema.

In cele ce urmeaza presupunem ca X este un spatiu Banach complex.

Teorema 3. Daca si este o curba simpla, inchisa si rectificabila care inconjoara astfel incat pentru orice sa rezulte atunci

Demonstratie. Fie . Din

rezulta ca exista Un calcul simplu arata ca

deci si

    (1.10)

Pentru t > 0, din (1.10) deducem ca

Fie astfel incat . Din

si faptul ca seria este convergenta , rezulta ca seria converge uniform in raport cu . Rezulta ca

=

Teorema 4. Daca si pentru orice t, atunci

Demonstratie. Fie astfel incat . Exista atunci o curba simpla, inchisa si rectificabila care inconjoara cu proprietatea ca pentru orice Notand cu lungimea drumului , din Teorema 1.3.3. rezulta ca

deci .

Obtinem astfel ca

asadar, Tinand seama de Corolarul 1.3.1. deducem ca

Remarca 6. In paragrafele urmatoare vom vedea ca, in general, pentru semigrupuri cu generatori nemarginiti, inegalitatile date de Corolarul 1. sunt stricte.