QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Idealele si inelele factor ale inelului Z








Idealele si inelele factor ale inelului Z


Deoarece orice ideal este subgrup al grupului aditiv al inelului, rezulta ca idealele lui Z sunt printre subgrupurile grupului aditiv al lui Z, care, dupa cum stim, sunt de forma n Z, cu n ≥ 0. Se observa insa ca subgrupurile n Z ale lui Z sunt toate ideale ale lui Z, deci idealele lui Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv al lui Z si sunt toate ideale principale.




Suma a doua ideale n Z si m Z este idealul generat de cel mai mare di≠vizor comun al numerelor m si n pe care il notam cu (n, m). In adevar, daca nZ + mZ = qZ, q ≥ 0, atunci din faptul ca n qZ si mqZ rezulta ca q divide pe n, respectiv m, adica q divide pe (n, m). Pe de alta parte, rezulta ca q = ns + mt, s,t Z, deci orice divizor comun al lui n si m divide si pe q. Asadar, (n, m) divide pe q, de unde rezulta egalitatea ceruta. In mod ana≠log se arata ca nZ mZ [n, m]Z, unde am notat cu [n, m] cel mai mic multiplu comun al numerelor n si m. De asemenea, rezulta ca produsul idea≠lelor nZ si mZ este generat de produsul nm. Reamintim ca doua numere intregi n, m se numesc prime intre ele (sau relativ prime) daca 1 este cel mai mare divizor comun al lor.

Din cele de mai sus rezulta ca inelele factor ale lui Z sunt de forma:

Zn = Z/nZ.

Acestea sunt inele comutative cu element unitate si Zn are n elemente pentru n > 0. Pentru n Z 0 este izomorf cu Z.

Vom demonstra cateva proprietati ale inelelor Zn precum si cateva aplicatii ale acestora.

Propozitia 3.1. In inelul Zn, n > 1, un element este inversabil daca si numai daca exista a Z, a relativ prim cu n, astfel incat p(a) unde p : Z Zn este surjectia canonica. In particular, daca n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.

Demonstratie. A doua afirmatie a propozitiei rezulta din prima. Pentru a demonstra prima afirmatie vom observa ca daca a Z si are proprietatea ca este relativ prim cu n adica (a, n) = 1, atunci, pentru orice a' Z cu a' ≡ a mod n avem de asemenea (a',n) = 1. In adevar, daca un numar divide pe a' si n atunci el divide pe a, caci acesta are forma a'+ kn, cu k Z .Daca a este un reprezentant al lui si (a, n) = 1, atunci, dupa cum am observat mai sus, exista b, c Z astfel incat ab + nc = 1. Trecand aceasta relatie in Zn, se obtine ca p(b) = 1, deci p(b) este inversul lui . Reciproc sa presupunem ca Zn

este inversabil, deci exista β Zn astfel incat β = 1.Daca, a, b Z sunt astfel incat p(a) = p(b) = β, atunci rezulta ca ab mod n,de unde rezulta ca (a, n)

Propozitia 3.2. Fie m,n > 1 numere intregi, prime intre ele. Atunci inelul Zn Zm este izomorf cu Zmn.

Demonstratie. Fie pm : Z Zm, pn : Z Zn,††††† pmn : Z Zmn, surjectiile canonice si pí : Z Zm Zn aplicatia definita prin pí( a )=( pm( a ), pn( a)). Aplicatia pí este un morfism de inele, dupa cum se verifica cu usurinta, iar Ker pí = mn Z .In adevar, mn Z Ker pí.††



Fie x Ker pí. Atunci pm( ) = 0 si pn( ) = 0, deci se divide cu m si cu n si cum (m,n) = 1 rezulta ca x se divide cu produsul mn , adica mn Z si Ker pí mn Z . Din propozitia 2.7 rezulta ca exista un morfism injectiv de inele p : Zmn Zm x Zn si.deoarece inelele Zmn si Zm x Zn au acelasi numar de elemente. rezulta ca p este si surjectiv.

Fie φ ׃ N N functia definita prin:

φ(0) = 0, φ(1) = 1 si φ(n) = numarul numerelor naturale nenule, prime cu n si mai mici decat n, pentru n > 1 . Aplicatia φ se numeste funcsia lui Euler sau indicatorul lui Euler. Din propozitia 3.1 rezulta ca Zn coincide cu numarul elementelor inversabile din inelul Zn, daca n ≥ 1.

Propozitia 3.4. Daca m si n sunt numere naturale prime intre ele, atunci φ(mn) = φ(m) φ(n).

Demonstratie. Daca unul din numerele m, n este nul,afirmatia este evidenta. In caz contrar, mn) coincide cu numarul elementelor inversabile din inelul Zm x Zn dupa cum rezulta din propozitia precedenta. Acum afirmatia propozitiei rezulta din lema care urmeaza si a carei demonstratie este imediata.

Lema 3.5. Fie A si B doua inele unitare. Notam cu A*, B* si (AxB )* respectiv, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A, B si AxB. Atunci exista egalitatea (AxB )* = A* x B*.

Propozitia 3.6. Fie n > 1 un numar intreg si n = .descompunerea sa in produs de numere prime, unde ,,. sunt numere prime distincte. Atunci φ(n) = ( 1 - ) ( 1 - ) .. ( 1 - ).

Demonstratie Din propozitia 3.4 rezulta ca φ(n) = φ( φ()φ( ) Atunci este suficient sa aratam ca φ() , ceea ce rezulta din faptul ca numerele naturale mai mici decat†††† si care se divid cu sunt in numar de††††† , anume 0, ,2,.,(-1) ,,,()


Propozitia 3.7 ( Teorema lui Euler). Daca a si n>0 sunt numere intregi prime intre ele, atunci


Demonstratie. Deoarece grupul multiplicativ al elementelor inversabile din are ordinul , iar clasa a a lui a apartine acestui grup, rezulta ca =, relatie care este echivalenta cu afirmatia propozitiei.

Pentru n numar prim, avem (n)=n-1 si se obtine din propozitia precedenta urmatorul corolar cunoscut sub numele de Teorema lui Fermat sau mica teorema a lui Fermat.

Corolarul 3.8 Daca p>1 este un numar intreg prim si a un intreg care nu se divide cu p ,atunci




loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }