QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Ecuatii echivalente ale planului








Ecuatii echivalente ale planului


Planul in spatiu





In spatiul geometriei euclidiene E3, un plan este in mod unic determinat de urmatoarele conditii:


1) trei puncte necoliniare

2) un punct si doua drepte neparalele

3) un punct si o dreapta perpendiculara pe plan.


1.1. Planul prin trei puncte


Fie M0, M1, M2 I E trei puncte necoliniare (afin independente). Subspatiul afin p E generat de punctele M0, M1, M2 are ca spatiu vectorial director un subspatiu de dimensiune doi in spatiul vectorial V3,

dat de

V2 =



Un punct M I p daca si numai daca I V2.

Daca notam cu = = , i = 0, 1, 2 vectori de pozitie ai punctelor M si respectiv M0, M1, M2 in reperul cartezian R (O; ), (Oxyz) atunci multimea punctelor planului p va fi caracterizat de relatia vectoriala

l, m I R (1.1)


numita ecuatia vectoriala a planului prin trei puncte.

Daca (x, y, z), (xi, yi, zi) I R , i = 0, 1, 2 sunt coordonatele punctelor M si respectiv Mi, i = 0, 1, 2 atunci ecuatia vectoriala (1.1) scrisa in reperul cartezian Oxyz este echivalenta cu ecuatiile

(1.2)

numite ecuatiile carteziene parametrice ale planului prin trei puncte.


Relatia l m reprezinta conditia de coplanaritate a vectorilor echivalenta cu anularea produsului mixt, adica

) = 0 sau ( (1.3)

In coordonate carteziene ecuatia (1.3) se scrie sub forma

sau (1.4)

numita ecuatie carteziana a planului prin trei puncte.

In particular, punctele A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) situate pe axele de coordonate ale reperului Oxyz determina un plan p, iar coordonatele punctelor sale satisfac ecuatia


, sau dupa dezvoltare

(1.5)


numita ecuatia prin taieturi a planului p

Remarca. Conditia necesara si suficienta pentru ca patru puncte Mi(xi,yi, zi), sa fie situate intr-un plan este


(1.6)


1.2. Planul printr-un punct, paralel cu doua directii date




Fie punctul M0 I E si dreptele distincte d1, d2 E . Consideram in punctul M0 reprezentantii vectorilor (l1, m1, n1) , (l2, m2, n2) paraleli dreptelor d1 respectiv d2 (fig.2)

Vectorii si , liniar independenti genereaza subspatiul vectorial


V2 = .


fig.2


Punctul M0 I E si subspatiul vectorial V2 determina subspatiul afin bidimensional p E . Un punct M I p daca si numai daca I V2, adica vectorii si sunt coplanari.

Utilizand vectorii de pozitie si corespunzatori punctelor M si respectiv M0, relatia de coplanaritate se scrie sub forma


(1.7)


numita ecuatia vectoriala a planului printr-un punct, paralel cu doua directii.

Proiectand ecuatia (1.7) pe axele sistemului cartezian de coordonate Oxyz obtinem:





l m I R




numite ecuatiile carteziene sub forma parametrica ale planului printr-un punct, paralel cu doua directii.

Relatia de coplanaritate a vectorilor , si este caracterizata de anularea produsului mixt al celor trei vectori, adica (, ,) = 0. Obtinem astfel ecuatia

(1.9)

numita ecuatia carteziana a planului printr-un punct, paralel cu doua directii.

Remarca. In particular, ecuatia (1.9) poate fi adaptata si pentru alte situatii cunoscute din geometria elementara, in care un plan este perfect determinat. Anume: planul determinat de o dreapta si un punct nesituat pe dreapta, planul determinat de doua drepte concurente si respectiv planul determinat de doua drepte paralele.


Dreapta ca intersectie a doua plane

Se stie din geometria elementara ca doua plane neparalele se intersecteaza dupa o dreapta (d). In paragraful precedent aceasta situatie geometrica este caracterizata analitic de un sistem de ecuatii liniare compatibil nedeterminat, format cu ecuatiile celor doua plane. Astfel, ecuatiile sistemului

(2.7)

vor fi numite ecuatiile dreptei (d) data de intersectia a doua plane.

O solutie (x0, y0, z0) a sistemului (2.7) va caracteriza un punct al dreptei (d) iar vectorul , unde si sunt normalele celor doua plane ce determina dreapta (d).

Observatie :

Ecuatiile carteziene (2.3) si (2.6) ale unei drepte in spatiu pot fi interpretate ca un sistem de doua ecuatii liniare, adica dreapta (d) gandita ca intersectia a doua plane.









loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }