Utilizarea operatorilor relationali

Utilizarea operatorilor relationali

Mediul de programare MATLAB utilizeaza, pentru compararea a doua matrici cu dimensiuni identice, "element cu element", sase operatori relationali:

Dupa executarea operatiei, MATLAB afiseaza o matrice, identica dimensional cu cele comparate, avand ca elemente "simbolurile" 1(unu) respectiv 0(zero), dupa cum relatia dintre elementele comparate este "adevarata" (TRUE) respectiv "falsa" (FALSE). Forma generala a sintaxei este:

Rezultat=expresie_1 operator relational expresie_2

In care :

-Rezultat- este o matrice cu elementele 0 si 1, obtinuta prin compararea celor doua expresii;

matricele sau expresiile matriceale care se compara ;

-expresie_1

-expresie_2-

-operator relational- operatorii relationali definiti in tabelul anterior.

Ex. :

Sa se compare elementele matricei cu scalarul .

Folosind secvanta Matlab :

» A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; B=exp(2)-log(5)/log(3);

» A<=B

ans =

1 1 1

1 1 0

0 0 0

» A>=B

ans =

0 0 0

0 0 1

1 1 1

» A==B

ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

» A~=B

ans =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Ex. :

Sa se compare matricele si .

Cu secventa MATLAB:

» A=[-1,2,4;3,0,5;2,1,3];B=[2,-1,3;3,-2,2;5,-4,1];

se obtin rezultatele: 

» A<B

ans =

1 0 0

0 0 0

1 0 0

» A<=B

ans =

1 0 0

1 0 0

1 0 0

» A>B

ans =

0 1 1

0 1 1

0 1 1

» A>=B

ans =

0 1 1

1 1 1

0 1 1

» A==B

ans =

0 0 0

1 0 0

0 0 0

» A~=B

ans =

1 1 1

0 1 1

1 1 1

Operatori logici

MATLAB utilizeaza trei operatori logici principali si unul auxiliar:

Acesti operatori lucreaza ca si cei relationali, element cu element, dar numai cu matrici sau tablouri avand elemente logice: 0 sau 1. Daca elementele unei matrici sunt zero si 1 sau valori diferite de zero, atunci cele diferite de zero se seteaza, automat, la valoarea logica 1.

Obs: Operatorii logici nu pot fi folositi in combinarea a doua expresii simbolice ("syms").

Precedenta operatorilor

Precedenta operatorilor determina ordinea in care MATLAB realizeaza evaluarea expresiilor. Ordinea in care sunt executate operatiile si prioritatea operatorilor, in MATLAB, este caracterizata de urmatoarele nivele, ordonate dinspre nivelul superior spre nivelul inferior:

Parantezele ( )

Transpunerea (.'), puterea (.^), transpunerea conjugata complexa ('), puterea matricilor (^);

Adunarea unara (+), scaderea unara (-), negarea logica (~);

Inmultirea (.*), impartirea la dreapta (./), impartirea la stanga (.), inmultirea matricilor (*), impartirea la dreapta a matricilor (./), impartirea la stanga a matricilor (.);

Adunarea (+), scaderea (-);

Operatorul columnar (:);

Operatorii relationali: mai mic decat (<), mai mic sau egal decat (<=), mai mare decat (>),mai mare sau egal decat (>=), egal cu (==), diferit de (~=);

Operatorul logic SI (&);

Operatorul logic SAU (|);

Prioritatea maxima o are operatorul NU, ceilalti operatori logici avand prioritate egala, executia acestora fiind data de regula "de la stanga la dreapta". Prioritatea "de la stanga la dreapta" genereaza echivalenta intre doua expresii relationale. Astfel, expresia a|b&c este echivalenta cu (a|b)&c. Oricum, in cele mai multe dintre limbaje, expresia a|b&c este echivalenta cu a|(b&c), ceea ce denota, de altfel, prioritatea operatorului & fata de |. Pentru a exista compatibilitatea cu viitoarele versiuni MATLAB este indicat ca utilizatorul sa foloseasca paranteze pentru a se specifica prioritatea de executie a operatorilor & respectiv |. Urmatoarele doua expresii ilustreaza prioritatea operatorilor:

1 | 0 & 0 = 0

0 & 0 | 1 = 1

Tabelul de adevar al acestor operatori este:

CUVINTE CHEIE

MATLAB rezerva o lista de cuvinte cheie, lista care poate fi afisata, pentru evitarea erorilor de evaluare si de redactare a expresiilor logice, cu functia iskeyword, in linia de comanda MATLAB:

» [Cuvinte_cheie]=iskeyword

Cuvinte_cheie =

'break'

'case'

'catch'

'continue'

'else'

'elseif'

'end'

'for'

'function'

'global'

'if'

'otherwise'

'persistent'

'return'

'switch'

'try'

'while'

Instructiunile "if ", "else elseif

Instructiunea "if" ("daca") poate fi implementata in "format" simplu sau in asociere cu clauzele "else" ("altfel") respectiv "elseif" ("altfel . daca"). Actiunea instructiunii "if" trebuie sa se finalizeze, intotdeauna, cu instructiunea "end" ("sfarsit"). Forma generala a sintaxei este:

a) if expresie_logica

grup_de_instructiuni

end

b) if expresie_logica_1

grup_de_instructiuni_A

else

grup_de_instructiuni_B

end

c) if expresie_logica_1

grup_de_instructiuni_A

elseif expresie_logica_2

grup_de_instructiuni_B

end

d) if expresie_logica_1

grup_de_instructiuni_A

elseif expresie_logica_2

grup_de_instructiuni_B

else

grup_de_instructiuni_C

end

Diferenta dintre else si elseif se poate vedea in exemplul urmator :

Instructiunea if- else Instructiunea if- elseif

if A if A

x = a x = a

else elseif B

if B x = b

x = b elseif C

else x = c

if C else

x = c x = d

else end

x = d

end

end

end

Ex.: Sa se calculeze valoarea expresiei :

, pentru valorile intregi ale variabilei x.

Se va folosi urmatoarea secventa MATLAB (pentru simplificare se va utiliza functia length(x) si o bucla repetitiva for, care va fi prezentata in sectiunea urmatoare):

» x=-6:15;

» for k=1:length(x)

if x(k)<-4

f(k)=exp(x(k)-3)-4

elseif (x(k)>=-4)&(x(k)<=10)

f(k)=(log(x(k)^2+(2+sqrt(x(k)^4+3))^(1/3)))

else

f(k)=det([pi,3^(1/5);0.456,exp(x(k)^2-4)])

end

end

Rezultatul afisat de MATLAB este urmatorul :

f =

1.0e+096 *

Columns 1 through 7

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

sau, afisat in format rational :

f =

Columns 1 through 6

-32411/8103 -11923/2981 6083/2080 2719/1124 1804/1021 655/689

* * * *

Instructiunea de ciclare « for

Sintaxa pentru forma generala este:

for index=expresie

grup_de_instructiuni

end

in care :

index -reprezinta contorul de iterare

expresie- este o matrice, un scalar sau, de cele mai multe ori, o expresie de forma :

n= »valoare initiala « : « pas » : « valoare finala »

Regulile specifice buclei « for » sunt:

-daca expresia atribuita indexului este un scalar, bucla se executa o singura data, valoarea indexului fiind valoarea scalarului

-daca expresia indexului este un vector linie, bucla se executa de « n » ori, unde « n » reprezinta dimensiunea vectorului ;

-daca expresia este o matrice, indexul va « lua » toate valorile matricei « pe coloana » ;

-daca expresia este de forma : »valoare initiala « : « pas » : « valoare finala », iar pasul are valoare pozitiva, atunci valoarea initiala trebuie sa fie mai mica decat valoarea finala ;

-daca expresia este de forma : »valoare initiala « : « pas » : « valoare finala », iar pasul are valoare negativa, atunci valoarea initiala trebuie sa fie mai mare decat valoarea finala ;

-daca expresia este de forma : »valoare initiala « : « valoare finala », atunci pasul de indexare este, implicit, 1 (unu).

Un exemplu foarte simplu pentru utilitatea instructiunii de ciclare for, ar fi calculul factorialului unui numar natural. Daca se cere calculul numarului de permutari (factorialul), aferente lui n=10, se foloseste urmatoarea secventa de instructiuni:

n = 10;

fact = 1;

for k = 1:n

fact = k * fact;

disp( [k fact] )

end

% FINAL PROGRAM

Rezultatul afisat in fereastra de comanda, la apasarea tastei ENTER, este:

1 1

2 2

3 6

4 24

5 120

6 720

7 5040

8 40320

9 362880

10 3628800

Multe probleme in inginerie presupun dezvoltarea unui model matematic pentru caracterizarea unui proces, in care variabila principala este actualizata ciclic de-a lungul unei perioade de timp. Aceasta operatie se numeste actualizare. Pentru a exemplifica, se considera un proces de actualizare a temperaturii unui corp, a carui temperatura initiala este 25 ^oC, amplasat intr-un mediu a carui temperatura este 10 ^oC, dupa un interval de mentinere la temperatura mediului, de 100 minute. Modul de abordare a acestui tip de probleme este o cale standard:

se divide intervalul de timp in sub-intervale egale (pasi), de lungime dt;

daca temperatura de start este T_i, atunci se va folosi urmatorul model matematic, pentru calculul temperaturii la un moment i+1, T_i+1:

in care, K este un coeficient (valoarea K=0,05) care tine seama de imperfectiunile mediului, iar T_f este temperatura finala (T_f=10 ^oC). Fisierul script realizat pentru rezolvarea problemei de actualizare, stabileste valoarea initiala a intervalului de timp (a=0), respectiv finala (b=100 minute). Daca intervalul de afisare nu este un multiplu de pasul de calcul, se va afisa un mesaj de eroare "Intervalul de afisare nu este un multiplu de dt !":

K = 0.05;

Tf = 10; %temperatura finala

a = 0; % momentul initial

b = 100; % intervalul de timp

Timp_initial = a; % initializarea intervalului de timp

T = 25; % initializarea temperaturii

dt = input( 'dt: ' ); % intervalul de calcul (pasul)

Intervalul_de_afisare = input('Afisarea rezultatelor la interval de (minute):' );

if Intervalul_de_afisare/dt ~= fix(Intervalul_de_afisare/dt)

disp( 'Intervalul de afisare nu este un multiplu de dt !' );

end

format bank

disp( ' Timp Temperatura' );

disp( [Timp_initial T] ) % afiseaza momentul actualizarii si temperatura

for Timp_actualizare = a+dt : dt : b

T = T - K * dt * (T - Tf);

if abs(rem(Timp_actualizare, Intervalul_de_afisare)) < 1e-6

disp( [Timp_actualizare T] )

end

end

%FINAL PROGRAM

Dupa ultima linie de instructiuni, end, (la apasarea tastei ENTER), se afiseaza, in linia de comanda un mesaj prin care se cere utilizatorului sa introduca pasul dt, apoi se cere stabilirea intervalului de afisare a rezultatelor, dupa un interval de timp: "Afisarea rezultatelor la interval de (minute):". Pentru exemplificare, se va rula, acest fisier, in doua variante (dt=0.2 si Intervalul_de_afisare=5, respectiv dt=0.3 si Intervalul_de_afisare=1.33), rezultatele fiind:

Varianta I (dt=0.2 si Intervalul_de_afisare=5 )

dt: .2

Afisarea rezultatelor la interval de (minute): 5

Timp Temperatura

0 25.00

5.00 21.67

10.00 19.08

15.00 17.06

20.00 15.49

25.00 14.27

30.00 13.32

35.00 12.58

40.00 12.01

45.00 11.56

50.00 11.22

55.00 10.95

60.00 10.74

65.00 10.57

70.00 10.45

75.00 10.35

80.00 10.27

85.00 10.21

90.00 10.16

95.00 10.13

100.00 10.10

Varianta II (dt=0.3 si Intervalul_de_afisare=1.33 )

dt: .3

Afisarea rezultatelor la interval de (minute): 1.33

Intervalul de afisare nu este un multiplu de dt !

Timp Temperatura

0 25.00

39.90 12.01

79.80 10.27

Ex. : Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic functiile :

a)  daca , cu pasul de indexare de 0,1;

b) cu pasul de indexare de -0,3.

a) Cu sintaxa Matlab :

» x=-2*pi:0.1:2*pi;

» f=sin(x);

» plot(x,f)

se obtin valorile functiei f, care vor fi afisate daca se tasteaza, in linia de comanda, numele acesteia, si, intr-o fereastra grafica Figure 1 reprezentarea functiei f :

b) Pentru functia g se foloseste secventa de program:

» m=25:-0.3:-10;

» for k=1:length(m)

if (m(k)>=-10)&(m(k)<=2)

g(k)=exp(m(k))+2

elseif (m(k)>2)&(m(k)<=8)

g(k)=-2

elseif (m(k)>8)&(m(k)<=25)

g(k)=(log(m(k)^2-5^(1/7))+19)/log(3)

end

end

» plot(m,g)

Se obtin valorile indexate ale functiei g si graficul din figura alaturata :

Ex. : Un fisier script care genereaza « petale » :

theta = -pi:0.01:pi;

rho(1,:) = 2*sin(5*theta).^2;

rho(2,:) = cos(10*theta).^3;

rho(3,:) = sin(theta).^2;

rho(4,:) = 5*cos(3.5*theta).^3;

for i = 1:4

polar(theta,rho(i,:))

pause

end

Ex.: O secventa de instructiuni care genereaza zone de culoare cu intensitati diferite :

[x,y,z] = peaks;

contour(x,y,z,20,'k')

hold on

pcolor(x,y,z)

shading interp

hold off

Ex. : O secventa de instructiuni care imparte o figura in mai multe parti:

t = 0:pi/10:2*pi;

[X,Y,Z] = cylinder(4*cos(t));

subplot(2,2,1); mesh(X)

subplot(2,2,2); mesh(Y)

subplot(2,2,3); mesh(Z)

subplot(2,2,4); mesh(X,Y,Z)

Ex. : O secventa de instructiuni care genereaza o matrice:

m=4;n=3;

for i = 1:m

for j = 1:n

A(i,j) = 1/(i + j - 1);

end

end

A =

Columns 1 through 8

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250

0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111

0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000

0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909

0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833

Ex.: Un fisier care genereaza o matrice:

for i = 1:10

A(i,i) = 1; % se introduce cifra " ", pe diagonala principala

if (i > 1)

A(i,i-1) = 2; % se introduce cifra " 2", in fata diagonalei principale, dar numai pe ultimele 9 linii,

end

if (i < 10)

A(i,i+1) = 5; % se introduce cifra " 5", in dreapta diagonalei principale, dar numai pe primele 9 linii,

end

end

Daca se tasteaza numele matricei ("A"), se afiseaza urmatorul rezultat:

A =

1 5 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 5 0 0 0 0 0 0 0

0 2 1 5 0 0 0 0 0 0

0 0 2 1 5 0 0 0 0 0

0 0 0 2 1 5 0 0 0 0

0 0 0 0 2 1 5 0 0 0

0 0 0 0 0 2 1 5 0 0

0 0 0 0 0 0 2 1 5 0

0 0 0 0 0 0 0 2 1 5

0 0 0 0 0 0 0 0 2 1

Ex.: Un fisier script de operare cu matrici:

m1=[-4 1 0; 1 -4 1; 0 1 -4]

m2=eye(3)

m3=zeros(3,3)

a=[m1 m2 m3; m2 m1 m2; m3 m2 m1]

b=[-100; -100; -100; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

ab

b =   ans = -100 42.8571 -100 52.6786 -100 42.8571 0 18.7500 0 25.0000 0 18.7500 0 7.1429 0 9.8214 0 7.1429

a =

-4 1 0 1 0 0 0 0 0

1 -4 1 0 1 0 0 0 0

0 1 -4 0 0 1 0 0 0

1 0 0 -4 1 0 1 0 0

0 1 0 1 -4 1 0 1 0

0 0 1 0 1 -4 0 0 1

0 0 0 1 0 0 -4 1 0

0 0 0 0 1 0 1 -4 1

0 0 0 0 0 1 0 1 -4

Ex. : Un fisier script de operare cu matrici:

k(1)=1.5;

k(2)=1;

k(3)=1.5;

k(4)=2;

l(1)=0.3;

l(2)=0.1;

l(3)=0.2;

l(4)=0.2;

b=zeros(4,1);

for i=1:3

b(i)=k(i)*l(i)-k(i+1)*l(i+1);

end

b(4)=1;

m=zeros(4,4);

for i=1:3

m(i,i)=k(i)+k(i+1);

m(i+1,i)=-k(i+1);

m(i,i+1)=-k(i+1);

end

m(4,4)=1;

m(4,3)=0;

b

m

x=mb

Rezultatele sunt :

			m = 2.5000 -1.0000 0 0 -1.0000 2.5000 -1.5000 0 0 -1.5000 3.5000 -2.0000 0 0 0 1.0000
	b = 0.3500 -0.2000 -0.1000 1.0000

x = 0.3471 0.5176 0.7647 1.0000

Ex. : Un fisier script de operare cu matrici:

coord(1,1)=-0.6;

coord(1,2)=0;

coord(2,1)=-0.9;

coord(2,2)=1.5;

coord(3,1)=-1.6;

coord(3,2)=1.8;

coord(4,1)=0;

coord(4,2)=2.7;

coord(5,1)=1.6;

coord(5,2)=1.8;

coord(6,1)=0.9;

coord(6,2)=1.5;

coord(7,1)=0.6;

coord(7,2)=0;

c(1,1)=1;

c(1,2)=2;

c(2,1)=2;

c(2,2)=3;

c(3,1)=3;

c(3,2)=4;

c(4,1)=4;

c(4,2)=5;

c(5,1)=5;

c(5,2)=6;

c(6,1)=6;

c(6,2)=7;

c(7,1)=7;

c(7,2)=8;

m=zeros(7,7);

for i=1:7

if c(i,1)~=1

if c(i,1)==8

dist=((coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))^2+(coord(c(i,1),2)- coord(c(i,2),2))^2)^0.5;

elseif c(i,1)==7

dist=((coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))^2+(coord(c(i,1),2)- coord(c(i,2),2))^2)^0.5;

m(11,i)=(coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))/dist;

else

dist=((coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))^2+(coord(c(i,1),2)- coord(c(i,2),2))^2)^0.5;

m(2*c(i,1)-3,i)=(coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))/dist;

m(2*c(i,1)-2,i)=(coord(c(i,1),2)-coord(c(i,2),2))/dist;

end

end

if c(i,2)~=1

if c(i,2)==8

dist=((coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))^2+(coord(c(i,1),2)- coord(c(i,2),2))^2)^0.5;

elseif c(i,2)==7

dist=((coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))^2+(coord(c(i,1),2)- coord(c(i,2),2))^2)^0.5;

m(11,i)=(coord(c(i,2),1)-coord(c(i,1),1))/dist;

else

dist=((coord(c(i,1),1)-coord(c(i,2),1))^2+(coord(c(i,1),2)- coord(c(i,2),2))^2)^0.5;

m(2*c(i,2)-3,i)=(coord(c(i,2),1)-coord(c(i,1),1))/dist;

m(2*c(i,2)-2,i)=(coord(c(i,2),2)-coord(c(i,1),2))/dist;

end

end

end

m

b=zeros(11,1);

b(4,1)=-10;

b

d=mb

% FINAL PROGRAM

Acest fisier script, introdus in linia de comanda a MATLAB, la apasarea tastei ENTER, va avea ca efect afisarea urmatoarelor rezultate:

m =

-0.1961 0.9191 0 0 0 0 0

0.9806 -0.3939 0 0 0 0 0

0 -0.9191 -0.8716 0 0 0 0

0 0.3939 -0.4903 0 0 0 0

0 0 0.8716 -0.8716 0 0 0

0 0 0.4903 0.4903 0 0 0

0 0 0 0.8716 0.9191 0 0

0 0 0 -0.4903 0.3939 0 0

0 0 0 0 -0.9191 0.1961 0

0 0 0 0 -0.3939 0.9806 0

0 0 0 0 0 -0.1961 0.3714

b =

0

0

0

-10

0

0

0

0

0

0

0

d =

-2.1265

-3.7535

3.8868

1.1340

-0.4106

-0.2326

-0.1228

Ex. :

Un fisier pentru calculul elementelor traiectoriei unui proiectil (viteza, inaltime, distanta) lansat sub un anumit unghi fata de orizontala, sub actiunea gravitatiei:

dt = 0.1; 

g = 9.8;

u = 60;

Alfa = input( 'Introduceti unghiul de lansare al proiectilului: ' );

Radian = Alfa * pi / 180; % conversia in radiani

x_initial = zeros(1); y_initial = zeros(1); % initializare

y = 0; t = 0;

i = 1; % initial vector subscript

while y >= 0

t = t + dt;

i = i + 1;

y = u * sin(Radian) * t - g * t^2 / 2;

if y >= 0

Distanta_pe_x(i) = u * cos(Radian) * t;

Inaltimea_pe_y(i) = y;

end

end

plot(Distanta_pe_x, Inaltimea_pe_y,'k'), grid on

Introduceti unghiul de lansare al proiectilului: 50

APLICATII

Ex.1:

Sa se compare elementele matricei cu scalarul B=  ;

Ex.2:

Sa se compare elementele matricei cu elementele matricei ;

Ex.3:

Sa se compare elementele matricelor  ;

Ex.4:

Sa se compare elementele matricelor  cu scalarul ;

Ex.5:

Sa se realizeze un fisier script pentru afisarea unei matrici cu dimensiunea 3x4 in care elementele primei linii sa difere printr-o constanta, numar natural, elementele celei de-a doua linii sa difere prin constanta e², iar elementele ultimei linii sa difere prin ln8.

Ex.6:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat sa se afiseze inca doua butoane la alegere :

k=0;

while k~=3

k=menu('Faceti clic pe una dintre optiuni','Fa asta','Fa alta', 'Iesire');

if k==1

disp('Fa astaApasa orice cheie pentru a continua')

pause

elseif k==2

disp('Fa altaApasa orice cheie pentru a continua')

pause

end

end

Ex.7:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat sa se afiseze inca doua subgrafice, cu titlurile (c) si (d):

subplot(2,2,1)

plot(rand(1, 20)),title('(a)')

subplot(2,2,2)

axis([0 4 0 4])

plot([0 4], [0 0], [1 1 2 3 3], [0 2 3 2 0]),title('(b)')

Ex.8:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat sa se afiseze 8, 12, 24 de "petale":

x = 0:pi/40:2*pi;

polar(x, sin(2*x)),grid

Ex.9:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat sa se solicite utilizatorului sa introduca diametrul "desenului":

n=1:200;

d = 137.51;

th = pi*d*n/180;

r = sqrt(n); 

plot(r.*cos(th), r.*sin(th), '*')

axis square

Ex.9:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat "pasul de desenare" sa fie mai mic, respectiv, in alta varianta, sa fie mai mare:

x = 0;

y = 0;

dx = pi/100;

p = plot(x, y, 'o', 'EraseMode', 'none'); % 'xor' afiseaza numai punctele curente

% ' none' afiseaza toate punctele

axis([0 20*pi -2 2])

for x = dx:dx:20*pi;

x = x + dx;

y = sin(x);

set(p, 'XData', x, 'YData', y)

pause(0.05)

end

Ex.9:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat "sombrero-ul" sa fie inclinat spre stanga sau spre dreapta, si "lumina" sa "cada" din dreapta :

[x y ] = meshgrid(-8 : 0.5 : 8);

r = sqrt(x.^2 + y.^2) + eps;

z = sin(r) ./ r;

surf(x,y,z,'facecolor','interp','edgecolor','none',

'facelighting','phong')

colormap jet

daspect([10 5 1])

axis tight

view(-50, 30)

camlight right

Ex.10:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat imaginea reprezentarii grafice sa fie amplasata pe o "matrice" grafica de 3 linii si 3 coloane (ca in figura):

subplot(3,3,1)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted,

subplot(3,3,2)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted,

subplot(3,3,3)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

subplot(3,3,4)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

subplot(3,3,5)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

subplot(3,3,6)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

subplot(3,3,7)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

subplot(3,3,8)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

subplot(3,3,9)

x = 0:pi/20:pi;

bar(x,sin(x),'w'), shading faceted

Ex.11:

Sa se actualizeze fisierul de mai jos astfel incat utilizatorul sa fie solicitat sa introduca viteza initiala si timpul total al miscarii

g = 9.8; 

v0 = 60;  

t = 0 : 0.1 : 12.3;

s = v0 * t - g / 2 * t .^ 2;

plot(t, s), title( 'Miscarea pe verticala sub actiunea gravitatiei' )

xlabel( 'Timpul' ), ylabel( 'Inaltimea' ), grid

disp( [t' s'] )  

capitolul v

CALCULE NUMERICE CU POLINOAME

Pentru operarea cu polinoame, MATLAB utilizeaza functiile standard din tabelul urmator:

Reprezentarea polinoamelor

Polinoamele sunt reprezentate, in MATLAB, ca vectori linie, continand coeficientii ordonati dupa puterile descrescatoare ale variabilei. Forma generala a polinoamelor, in scrierea algebrica:

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+..+a₂x²+a₁x+a₀

iar reprezentarea acestuia, in MATLAB, este data prin vectorul linie f=[a_n,a­_n_1,,a2,a1,a0], in care elementele sunt reprezentate de coeficientii polinomului de grad n. De exemplu, polinomul p(x)=x⁴ +7x³+x-8 se introduce astfel:

»p=[1,7,0,1,-8]

Ex. : Fie polinoamele: f(x) = x³+2x²+0,5x-6,5 ; h(x)=x⁵+2x²-6

Aceste polinoame se scriu, in MATLAB:

»f = [1,2, 0.5, -6.5];

»h=[1,0,0,2,0,-6*(5^(1/3))];

Obs.: In polinomul h(x) coeficientii lui x⁴, x³ respectiv x, care lipsesc, sunt inlocuiti cu valoarea 0 (zero). Altfel, MATLAB va introduce un polinom de grad inferior celui real (de exemplu, daca h(x) ar fi introdus de la tastatura numai cu coeficientii h=[1,2,-6*(5^(1/3))] acesta reprezinta polinomul h(x)=x²+2x--6 )

Produsul polinoamelor

Produsul a doua polinoame se realizeaza, in MATLAB, folosind functia conv() :

»c = conv(a, b)

unde :

a, b - vectorii coeficientilor polinoamelor care se inmultesc

Ex. :

Sa se calculeze produsul : g(x) = (x²+x-2)(x+1)

-in MATLAB:

»g1 = [1 1 -2];

»g2 = [1 1];

»g = conv(g1, g2)

g = [1 2 -1 -2]

care in forma algebrica uzuala se scrie : g(x) = x³+2x²-x-2

Impartirea polinoamelor

Pentru realizarea impartirii a doua polinoame se foloseste functia MATLAB deconv() :

» [c, r] = deconv(a, b)

in care :

c - vectorul coeficientilor polinomului cat

r - vectorul coeficientilor polinomului rest

Polinoamele c(x) si r(x) respecta teorema impartirii cu rest (p(x)=d(x)*c(x)+r(x), in care p(x) este polinomul- "deimpartit", d(x) reprezinta polinomul- "impartitor" : )

Ex. : Sa se calculeze catul si restul impartirii polinoamelor h₁(x)= x³+2x²-2 si h₂(x)= x²+x, folosind o functie MATLAB.

-in MATLAB:

»h1 = [1 2 0 -2];

»h2 = [1 1 0];

»[c, r] = deconv(h1, h2)

c =

1 1

r =

0 0 -1 -2

In format algebric uzual catul impartirii este: c(x)=x+1, iar restul r(x)= -x-2 .

Determinarea radacinilor unui polinom

Determinarea radacinilor unui polinom, se realizeaza folosind functia MATLAB roots() :

»r = roots(a)

in care:

a - vector linie al coeficientilor polinomului

Ex. : Fie polinomul f(x) = x³-2x²-3x+10. Sa se determine radacinile ecuatiei f(x)=0.

in MATLAB

»f = [1 -2 -3 10]

»r=roots(f)

T se obtine vectorul coloana al radacinilor

r =

2+i

2-i

-2

Determinarea coeficientilor polinoamelor

daca se cunosc radacinile

Determinarea unui polinom, daca se cunosc radacinile acestuia, se utilizeaza functia MATLAB poly():

» p = poly(z)

in care:

z - vectorul- coloana al radacinilor

Ex. :

Fie radacinile unui polinom : x₁=2; x₂=3; x₃=4. Sa se determine polinomul cu radacinile x₁; x₂; x₃.

Problema se va rezolva prin doua metode:

a)-algebric-clasic:folosind sumele Viète

b)-in MATLAB: folosind functia poly()

a) Solutia algebrica:

Folosind relatiile Viète, se obtin sumele:

S₁ = x₁+x₂+x₃ S₁= 9

S₂ = x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ S₂=26

S₃ = x₁x₂x₃ S₃= 24

Polinomul cu radacinile x₁; x₂; x₃ se scrie, folosind forma generala a unui polinom (pentru care se cunosc sumele Viète p(x)=xⁿ-S₁x^n-1+S₂x^n-2--S_n ) p(x) = x³-9x²+26x-24.

b) Rezolvare cu functia poly():

Folosind functia MATLAB poly(), rezolvarea este imediata:

» b=[2;3;4];

» p=poly(b)

p =

1 -9 26 -24

Polinomul p(x), in format algebric, uzual, se scrie p(x) = x³-9x²+26x-24 .

Cu functia poly(), se determina si coeficientii polinomului caracteristic al unei matrici patratice. De exemplu, cu secventa urmatoare, se determina polinomul ale carui radacini (se mai numesc si radacini caracteristice) sunt valorile proprii ale matricei (valorile proprii ale matricei se determina cu functia MATLAB eig()):

» A = [1.2 3 -0.9; 5 1.75 6; 9 0 1];

» p=poly(A)

p =

1.0000 -3.9500 -1.8500 -163.2750

»radacini=roots(p)

radacini =

7.2826

-1.6663 + 4.4321i

-1.6663 - 4.4321i

» valorile_proprii=eig(A)

valorile_proprii =

7.2826

-1.6663 + 4.4321i

-1.6663 - 4.4321i

Evaluarea numerica a unui polinom

1) Evaluarea simpla:

Se foloseste in cazul in care polinomul are o expresie simpla si valoarea atribuita variabilei este un scalar.

Ex. 6: Sa se calculeze valoarea polinomului f(x) = 3x⁴-5x³+3x-1 in punctul x = 2.

In MATLAB, se declara, mai intai, valoarea variabilei, apoi se introduce polinomul de evaluat, folosind regulile standard:

» x = 2;

» f = 3*(x^4)-5*(x^3)+3*x-1

f =

13

2) Evaluarea numerica element cu element

Cand variabila in care se evalueaza polinomul este un vector sau o matrice problema se rezolva respectand regulile de calcul cu matrici si tablouri de valori:

a)- daca variabila este un vector (linie sau coloana), calculul valorii polinomului se poate realiza numai daca expresia polinomului este introdusa de la tastatura utilizand regulile pentru calculul cu tablouri de valori (variabila este considerata de MATLAB un tablou de valori, deci se va folosi caracterul " . " -punct, pentru operatiile in care este implicata variabila) altfel, MATLAB afiseaza un mesaj de eroare:

??? Error using ==> ^

Matrix must be square.

??? Eroare la utilizarea ^

Matricile trebuie sa fie patratice

Ex. :

1)-variabila este un vector linie:

» x= [1 2 0];

» f = 3*x.^4-5*x.^3+3*x-1

f =

0 13 -1

Obs.:Daca polinomul este introdus fara caracterul punct " . " in fata operatorului pentru ridicare la putere:

» f = 3*x^4-5*x^3+3*x-1

MATLAB afiseaza mesajul:

??? Error using ==> ^

Matrix must be square.

Ex. :

2)-variabila este un vector coloana:

» x=[1;2;0];

» f = 3*x.^4-5*x.^3+3*x-1

f =

0

13

-1

b)- daca variabila este o matrice patrata, iar expresia ce urmeaza a fi evaluata este introdusa de la tastatura netinand cont de modul de lucru cu tablouri de valori, expresia este calculata astfel: se determina "puterile" matricei dupa care sunt inmultite cu coeficientii, rezultatele acestor inmultiri fiind, apoi, insumate algebric, solutia fiind, evident, o matrice de aceeasi dimensiune ca si variabila. In acest caz, polinomul f(x) devine f(x), iar termenul liber a₀ devine a₀*I (unde I este matricea unitate de ordin egal cu ordinul matricei X):

Ex. :

» x=[1,2;3,4];

» f = 3*x^4-5*x^3+3*x-1

f =

414 605

908 1323

c)- daca variabila este un tablou de valori (numarul de linii diferit de numarul de coloane), expresia de evaluat trebuie introdusa de la tastatura folosind regulile de calcul specifice tablourilor de valori (operatorii: " .^ " sau " .* ") altfel MATLAB afiseaza un mesaj de eroare:

Ex. 10 :

» x=[1,2,3;4,5,6];

» f = 3*x.^4-5*x.^3+3*x-1

f =

0 13 116

459 1264 2825

Obs.: Daca expresia f(x) se introduce:

» f = 3*x^4-5*x^3+3*x-1

MATLAB afiseaza mesajul :

??? Error using ==> ^

Matrix must be square.

Evaluarea polinoamelor cu

functia MATLAB polyval(p, q)

Evaluarea expresiilor polinomiale, in MATLAB, se poate realiza folosind functia polyval():

» f = polyval(p, q)

sau

»f=polyvalm(p,q)

in care:

p - vectorul linie al coeficientilor polinomului;

q - vectorul , respectiv, matricea in care se evalueaza polinomul p.

Ex. :

Sa se determine valoarea polinomului p(x)=3x⁴+x³+2x²-1 in punctele vectorului q=[1,2,3,4,0], respectiv ale matricelor Q = [1 2 ; 3 4] si R = [1 2 3 ; 3 4 5].

In MATLAB:

» p = [3 1 2 0 -1];

» q = [1 2 3 4 0]; Q = [1 2 ; 3 4]; R = [1 2 3 ; 3 4 5];

» f1=polyval(p,q)

f 1=

5 63 287 863 -1

» f2=polyval(p,Q)

f2 =

5 63

287 863

» f3=polyvalm(p,Q)

f3 =

647 944

1416 2063

» f4=polyval(p,R)

f4 =

5 63 287

287 863 2049

» f5=polyvalm(p,R)

??? Error using ==> polyvalm

Matrix must be square.

Evaluarea pe intervale

Daca se cere evaluarea unui polinom pe un interval in n puncte:

- se imparte intervalul in n puncte, dupa o regula prestabilita;

- se evalueaza polinomul folosind functia MATLAB polyval().

Ex. :

Sa se determine valoarea polinomului p(x)=3x⁴+x³+2x²-1, pentru valorile x[0,5] in punctele fixe distantate la 0,2 unitati.

In MATLAB:

» x = 0:0.2:5; p = [3 1 2 0 -1];

» f = polyval(p, x)

f =

1.0e+003 *

Columns 1 through 10

-0.0010 -0.0009 -0.0005 0.0003 0.0020 0.0050 0.0098 0.0172 0.0279 0.0428

Columns 11 through 20

0.0630 0.0896 0.1239 0.1672 0.2210 0.2870 0.3668 0.4623 0.5755 0.7083

Columns 21 through 26

0.8630 1.0419 1.2473 1.4819 1.7482 2.0490

Calculul derivatei

Derivata polinomului

Derivata polinomului se calculeaza folosind functia MATLAB polyder():

» D = polyder(c)

in care:

c - vectorul linie al coeficientilor

Ex. :

Sa se calculeze derivata polinomului A(x) = x³+2x²-x+2

» A = [1 2 -1 2]

» D = polyder(A)

D =

3 4 -1

Derivata produsului a doua polinoame

Prin definitie, derivata produsului a doua polinoame este tot un polinom, obtinut prin relatia:

( A(x) · B(x) )^' = A^'(x) · B(x) + A(x) · B^'(x). Asadar, calculul acestei derivate implica folosirea aceleiasi functii MATLAB polyder(), in care, argumentul de intrare (inscris, intotdeauna, intre paranteze rotunde), este format din vectorii linie ai coeficientilor celor doua polinoame:

» D = polyder(A, B)

Ex. Sa se determine derivata produsului (x³+2x²-x+2) · (x-1).

In MATLAB:

» A = [1 2 -1 2]; B = [1 -1];

» D_prod = polyder(A, B)

D_prod =

4 3 -6 3

Derivata catului a doua polinoame

Se cunoaste faptul ca derivata catului a doua polinoame este o expresie rationala. In consecinta, functia MATLAB, pentru calculul derivatei catului a doua polinoame se introduce cu parametri de iesire (parametrii de iesire, in acest caz numaratorul respectiv numitorul expresiei rationale rezultati ca urmare a calculului derivatei, se introduc in linia de comanda intre paranteze drepte, in partea stanga a semnului de atribuire, " = " ). Pentru calculul derivatei catului a doua polinoame se foloseste functia MATLAB polyder():

» [M, N] = polyder(A, B)

in care:

-M si N sunt polinoamele de la numaratorul respectiv numitorul expresiei derivate;

-A si B sunt polinoamele de la numaratorul respectiv numitorul expresiei ce urmeaza a fi derivata.

Ex. :

Sa se determine derivata expresiei rationale: .

In MATLAB:

» A = [1 2 -1 2]; B = [1 -1];

» [M, N] = polyder(A, B)

M =

2 -1 -4 -1

N =

1 -2 1

In format algebric uzual, rezultatul se scrie:

Adunarea si scaderea polinoamelor

Aceste operatii se pot executa numai daca polinoamele au acelasi grad, prin urmare polinoamele trebuie transformate, prin extindere spre stanga, astfel incat acestea sa fie de acelasi grad. Dupa uniformizarea gradului, adunarea algebrica a polinoamelor se realizeaza, in MATLAB, ca o insumare a doi vectori de aceeasi dimensiune.

Ex. :

Sa se calculeze suma si diferenta polinoamelor: g(x) = x⁴-5x²+6x-1 si h(x) = x³+3x-2.

In MATLAB, intrucat polinomul h(x) are gradul III, acesta va fi "adus" la gradul IV corespunzator polinomului g(x) prin impunerea unui coeficient "fals" (zero):

Astfel:

» g = [1 0 -5 6 -1]; h = [0 1 0 3 -2];

» sum = g+h

sum =

1 1 -5 9 -3

» dif = g-h

dif =

1 -1 -5 3 1

Descompunerea in fractii simple

Orice expresie rationala, se poate descompune in fractii simple, dupa radacinile polinomului de la numitor (solutiile numitorului se numesc poli):

Obs.: Daca polul p_j are ordinul m de multiplicitate expresia se scrie:

Intrucat descompunerea in fractii simple are ca rezultat trei vectori, functia MATLAB residue, se introduce cu parametri de iesire. Functia MATLAB pentru descompunerea in fractii simple este:

» [r, p, k] = residue(A, B)

in care:

r - vectorul coloana al reziduurilor;

p - vectorul coloana al polilor;

k - vectorul linie al polinomului cat (A/B)

Ex. :

Sa se descompuna in fractii simple urmatoarea expresie:.

In MATLAB (se vor calcula, pentru comparatie, catul polinoamelor A(x), B(x); catul si restul impartirii polinoamelor A(x), B(x) si apoi, se va descompune in fractii simple expresia A(x)/ B(x)) :

» A = [1 -6 11 -6];

» B = [1 -9 20];

» [Catul,Restul]=deconv(A,B)

Catul =

1 3

Restul =

0 0 18 -66

» [reziduuri_partiale, polii_fractiei, coeficientii_catului] = residue(A,B)

reziduuri_partiale =

24

-6

polii_fractiei =

5

4

coeficientii_catului =

1 3

Acest rezultat poate fi transcris, in format algebric, astfel: