Oscilatorul armonic liniar

Oscilatorul armonic liniar

Urmarim miscarea unui punct material M pe un cerc de raza R. Proiectia acestuia pe unul din diametrele cercului (in figura cel vertical) efectueaza o miscare oscilatorie.

Valorile unghiurilor in radiani precum si valorile sinusurilor si cosinusurilor sunt date in Anexa nr. 1.

Deoarece legea miscarii este o functie sinusoidala in raport cu timpul, miscarea este oscilatorie armonica.

Intre pulsatie, frecventa si perioada exista urmatoarele relatii (care se pot demonstra):

; ; (1.2)

Cunoscand legea de miscare se poate deduce expresia vitezei oscilatorului armonic liniar:

   (1.3)

Obs.: Viteza depinde cosinusoidal de timp. Valoarea ei este maxima atunci cand cosinusul este maxim, adica 1. Deci:  (1.4)

Deoarece viteza variaza in timp, miscarea va fi accelerata si se poate deduce formula acceleratiei:

   (1.5)

Obs.: La probleme, formula acceleratiei se va lua in modul. Valoarea acceleratiei este maxima atunci cand sinusul este maxim, adica 1. Deci:  (1.6)

Acceleratia este produsa de o forta, iar conform principiului II al mecanicii: F=m·a, unde m este masa corpului (a punctului material care oscileaza). Deci, asupra oscilatorului actioneaza forta:

    (1.7)

unde k este constanta oscilatorului. Din relatia de mai sus observam ca:

   si (1.8)

Utilizand relatia (1.8) si formula pulsatiei din (1.2) se ajunge la formulele perioadei si frecventei oscilatorului armonic liniar in functie de masa si constanta oscilatorului:

si (1.9)

Formula fortei se scrie vectorial: . Aceasta forta este de tip elastic. Valoarea maxima a fortei este:  (1.10)

Un punct material in miscare sub actiunea unei forte de tip elastic se numeste oscilator armonic liniar.

Oscilatorul armonic liniar este un punct material in miscare, deci el va avea energie cinetica:

  (1.11)

Deoarece oscilatorul se misca sub actiunea unei forte elastice, el va avea energie potentiala elastica:

    (1.12)

Suma dintre energiile cinetica si potentiala reprezinta energia totala a oscilatorului:

   (1.13)

Obs.: Energiile cinetica si potentiala variaza in timp astfel incat suma lor ( energia totala ) este constanta. Exista o transformare continua a energiei cinetice in energie potentiala si invers. Cand corpul are energie cinetica maxima ( in pozitia de echilibru ), energia potentiala este minima ( adica 0 ). In pozitiile extreme ( pentru y=A ) energia potentiala este maxima, iar energia cinetica este nula.