Stabilitatea BIBO a sistemelor dinamice liniare

Obiectiv: Explicarea notiunii de sistem dinamic liniar BIBO stabil. Prezentarea teoremelor si criteriilor ce permit analiza BIBO stabilitatii sistemelor dinamice liniare.

1. Breviar teoretic

Definitii

1. Un sistem dinamic liniar se numeste BIBO stabil daca si numai daca raspunsul acestui sistem, la orice semnal de intrare marginit, este marginit.

2. Un sistem dinamic liniar se numeste instabil BIBO daca exista un semnal de intrare marginita pentru care raspunsul sistemului este nemarginit.

Teoreme de caracterizare a BIBO stabilitatii

T1. Un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daca si numai daca toti polii sistemului au partea reala strict negativa

Exemple:

a) Fie sistemul dinamic liniar descris de functia de transfer:

Sistemul este BIBO stabil.

b)  Fie sistemul dinamic liniar descris de functia de transfer:

Sistemul este instabil BIBO.

T2. Un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daca si numai daca raspunsul indicial al sistemului tinde catre o valoare constanta (numita valoare de regim permanent/stationar):

Exemple:

a) Fie:

Sistemul este BIBO stabil.

b)

Sistemul este instabil BIBO.

T3. Un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daca si numai daca :

Exemple:

a) Fie:

Sistemul este BIBO stabil.

b)

Sistemul este instabil BIBO.

T4. Daca un sistem dinamic liniar este BIBO stabil atunci toti coeficientii din polinomul polilor sunt strict pozitivi. Daca cel putin un coeficient din polinomul polilor este zero sau strict negativ sistemul este instabil BIBO.

, = polinomul polilor.

Daca , atunci sistemul este instabil BIBO. Daca toti coeficientii lui P(s) sunt strict pozitivi nu se poate preciza nimic, pe baza acestei teoreme, despre BIBO stabilitatea sistemului.

Exemple:

Criterii polinomiale de analiza a BIBO stabilitatii

Daca polinomul polilor este de grad mare si/sau coeficientii lui sunt dependenti de parametri reali este dificila aplicarea teroremelor de mai sus pentru a studia BIBO stabilitatea sistemelor dinamice liniare.

Se recomanda in aceste situatii aplicarea unuia din urmatoarele criterii polinomiale:

C1. Criteriul Hurwitz:

Fie

, .

Se construieste matricea Hurwitz:

Polinomul P(s) este hurwitzian (admite doar radacini cu parte reala strict negativa) si deci sistemul G(s) este BIBO stabil daca toti minorii principali diagonali ai matricii H sunt strict pozitivi.

Observatii

Se poate considera ca matrice Hurwitz transpusa lui H_n anterior indicat, avand in vedere ca minorii principali diagonali rezulta aceiasi.

Polinomul poate fi adus la forma monica , garantand astfel indeplinirea conditiei care solicita ca sa aiba coeficient pozitiv.

Exemplu:

Sistemul este BIBO stabil.

C2. Criteriul Routh:

, .

Se completeaza schema Routh dupa urmatorul algoritm:

Ultima linie din schema Routh va contine un singur element.

Polinomul P(s) este hurwitzian (sistemul G(s) BIBO stabil) daca si numai daca toate elementele din prima coloana a schemei Routh sunt strict pozitive.

Observatie:

Polinomul poate fi adus la forma monica , garantand astfel indeplinirea conditiei care solicita ca sa aiba coeficient pozitiv.

Exemplu:

^{- Sistem BIBO stabil}

2.Exercitii rezolvate (analitic)

Exercitiul 1 Fie circuitul electric din fig.1. Se considera: .

Studiati BIBO stabilitatea sistemului.

Solutie: Acest circuit este modelat prin urmatoarea functie de transfer:

Polii sistemului sunt:

Sistemul este instabil BIBO.

Aceasta proprietate poate fi evidentiata experimental urmarind raspunsul sistemului la un semnal de intrare marginit:

Se obtine:

Raspunsul sistemului este nemarginit, desi intrarea aplicata sistemului este marginita (vezi fig.2)

Exercitiul 2 Fie sistemul dinamic liniar descris de functia de transfer:

Gasiti valorile parametrilor reali k si T pentru care sistemul este BIBO stabil.

Solutie: Se aplica criteriul Hurwitz. Matricea corespunzatoare polinomului polilor este:

Sistemul este BIBO stabil pentru:

Pe baza tabloului de variatie de mai jos se poate obtine in planul parametrilor k si T domeniul de stabilitate BIBO a sistemului (vezi fig. 3)

Se urmareste in continuare comportarea sistemului pe raspuns indicial, in domeniul de BIBO stabilitate, BIBO instabilitate si la limita de stabilitate.

a) in domeniul de BIBO stabilitate:

pentru :

Polii sistemului sunt cu parte reala negativa: . Raspunsul indicial al sistemului trebuie sa tinda (conform teoremei 1) la o valoare constanta de regim permanent: (vezi fig. 4a)

Fig. 4a Fig. 4b

Fig. 4c

b) in domeniul de instabilitate BIBO

Se alege:

Raspunsul indicial al sistemului nu tinde catre o valoare constanta.

Polii sistemului sunt:

Doi poli au parte reala strict pozitiva si raspunsul indicial al sistemului este nemarginit (vezi fig. 4b).

c) la limita de stabilitate este indeplinita una din conditiile:

Se alege 

Polii sistemului sunt:

Doi poli complecsi au partea reala nula. Sistemul este instabil BIBO si raspunsul indicial nu tinde catre o valoare constanta (vezi fig. 4c). In aceasta situatie, deoarece sistemul admite poli pur imaginari si polul real este strict negativ, raspunsul indicial este marginit.

3. Analiza stabilitatii BIBO in Matlab

BIBO stabilitatea sistemelor dinamice liniare poate fi verificata in Matlab cu ajutorul teoremei T2, vizualizand graficul raspunsului indicial, sau cu ajutorul teoremei T1, determinand polii sistemului si urmarind semnul partii lor reale.

4. Probleme propuse

Problema 1 Fie sistemul dinamic liniar descris de functia de transfer:

a) gasiti valorile parametrului a pentru care sistemul este BIBO stabil (indicatie: considerati cazurile a>3; a=3; a=2; a=1; a=0).

b) determinati in domeniul de BIBO stabilitate valoarea de regim stationar a raspunsului indicial.

c) verficati experimental rezulatul de la punctuele a), b).

Problema 2 Fie sistemul dinamic liniar descris de schema bloc din fig. 5, in care T>0;K>0.

Fig. 5

a) stiind ca sistemul este descris prin functia de transfer echivalenta

se cere sa se studieze stabilitatea BIBO in planul parametrilor k >0 si T >0; care este valoarea de regim stationar? (Atentie! valoarea de regim stationar poate fi calculata doar in domeniul de BIBO stabilitate)

b) sa se obtina (analitic si prin simulare) raspunsul indicial pentru:

i) T=1, k=2; ii) T=1, k=3; iii) T=1, k=4.

Pentru rezolvarea analitica sunt oferite rezultatele: