Teoremele lui Castigliano

Teoremele lui Castigliano

Daca avem o bara incarcata ca in figura 10:

Figura 10

; sageata in punctul S , iar ;

rotirea sectiunii transversale din punctul Q .

;  ;

; L fiind lucrul mecanic elastic de deformatie

inmagazinat intr-o bara supusa la incovoiere.

In cazul in care se cere sa calculam in (S) si rotirea sectiunii

transvesale, trebuie sa introducem in S un moment incovoietor concentrat fictiv M_iz (S) = 0 kN.m , apoi se calculeaza V_A si M_iz (A) functie de M_iz( S) , la sfarsitul rezolvarii problemei se face

M_iz (S) = 0 kN.m.

Figura 11

In mod analog daca se cere sageata in Q , se introduce in sectiunea

transversala din punctul Q , se introduce o forta concentrata fictiva

P_Q = 0 [ kN ] si se procedeaza in acelasi mod , adica calculam forta de reactiune V_A , respectiv momentul de reactiune M_iz(A) si in functie de P_Q , apoi la sfarsitul rezolvarii problemei se inlocuieste

P_Q = 0 [ kN ] .

Problema nr. 6

Sa se calculeze sageata si rotirea sectiunii transversale din Q, pentru bara din figura 12 , stiind ca : E = 2,1.10⁵ N/mm² ;    q = 1,5 N/m ; l = 0,32 m , sectiunea transversala fiind circulara cu diametrul 60 mm.

Figura 12

Deoarece in punctul Q nu avem moment incovoietor concentrat,

se introduce un moment incovoietor concentrat fictiv

M_iz(Q) = 0 [ kN.m ] la urma se introduce valoarea lui numerica .

Se calculeaza V_A si M_iz (A) functie de M_iz( Q) si de forta concentrata P_Q cu mentiunea ca la sfirsitul rezolvarii problemei se inlocuiesc

M_iz( Q ) = 0 [ kN .m ] si P_Q = ql .

; V_A - 2ql + P_Q = 0 ; V_A = 2ql - P_Q ;

; ;

.

La aplicarea teoremelor lui Castigliano pentru inceput trebuie sa se lucreze cu tabelele , fiind mai usor de calculat, dupa o anumita perioada de acomodare cu aceste metode atunci se poate trece peste anumite etape de calcul .

Regiunea intai;;

;

Observatie

Pentru regiunea a II-a este bine sa se ia originea in punctul S pentru ca se usureaza calculul integralelor, de exemplu daca avem :

cazul( I ) ; ; cazul ( II ) ; in cazul al doilea este mai avantajos de calculat.

Figura 13

Regiunea a II-a

; ;

Regiunea a III-a

; ; tabelul este indicat

sa se faca , deoarece ajuta la calcul.

;

Figura 14

Figura 15

acum se fac inlocuirile cu valorile lor : P_Q = ql ; M_izQ = 0 [ kN.m ]

;

Acum se inlocuiesc P_Q si M_izQ cu valorile lor si anume : P_Q = ql ;

M_izQ = 0 [ kN.m ]

;

de unde .Dupa ce s-a facut primul tabel se poate face si un al doilea tabel cu valorile inlocuite pentru P_Q si M_izQ: