Spatii vectoriale, subspatii vectoriale. Dependenta si independenta liniara. Sistem de generatori. Baza si dimensiune

Spatii vectoriale, subspatii vectoriale. Dependenta si independenta liniara. Sistem de generatori. Baza si dimensiune

Fie  K(=R) un corp comutativ si (V, +) un grup abelian. Spunem ca V este K-spatiu vectorial daca este definita o operatie algebrica externa pe V, notata tot multiplicativ:

".": K x V V, (a,x)=ax, astfel incat sa fie indeplinite urmatoarele conditii:

i)   (a+b)x=ax+bx a,b,

ii)      a(x+y)=ax+ay, a,

iii)    a(bx)=(ab)x, a,b,

iv)     1x=x, Elementele din K se numesc scalari iar cele din V se numesc vectori.

Exemple.

Fie R²=. R² este spatiu vectorial peste R in raport cu operatiile:

"+"": (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d);

"."(a,b) =.    2.R³=. R³ este spatiu vectorial peste R in raport cu operatiile:

"+"": (a, b, c)+(d, e, f)=(a+d, b+e, c+f);

"."(a,b,c) =

Definitie. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K. Fie V₁ se numeste subspatiu vectorial al spatiului vectorial V daca

i);

ii) Notam acest lucru prin

Exemplu. Avem R² R³.

Definitie. Fie V un K-spatiu vectorial si S= un sistem de n vectori din V.   

i) Spunem ca S este un sistem liniar independent daca din orice relatie de forma a₁x₁+.+a_nx_n=0 rezulta a₁=.=a_n=0, pentru orice i. Suma a₁x₁+.+a_nx_n se numeste combinatie liniara a elementelor x₁,..,x_n cu coeficienti din corpul K.

ii) Daca exista nu toate nule astfel incat a₁x₁+.+a_nx_n=0 spunem ca sistemul S este liniar dependent.

iii) Sistemul S formeaza sistem de generatori pentru spatiul vectorial V daca pentru orice vector exista scalarii asatfel incat x= a₁x₁+.+a_nx_n.

iii) Sistemul S formeaza o baza in spatiul vectorial V daca este in acelasi timp sistem de generatori si formeaza sistem de vectori liniar independenti. Un spatiu vectorial poate avea mai multe baze, dar numarul vectorilor dintr-o baza este mereu acelasi si se numeste dimensiunea spatiului vectorial V.

Exemplu.

Sa se arate ca vectorii x₁=(1, 5, 2), x₂=(-1, 1, 0), x₃=(2, 1, 5) formeaza baza in R³.

Rezolvare. Verificam liniar independenta. Formam combinatia liniara a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃=0 si obtinem sistemul omogen . Deoarece determinantul sistemului este 24, rezulta ca sistemul omogen are doar solutia nula, deci vectorii sunt liniar indepenedenti.

Aratam ca formeaza sistem de generatori. Fie x=(a, b, c)R³. Verificam daca exista scalarii x₁, x₂, x₃ astfel incat  . Sistemul este de tip Cramer, decia admite solutie unica. Deci sistemul formeaza sistem de generatori.

Rezulta ca formeaza baza.