QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Proiect Analiza functionala, Matematica aplicata - OPERATORI COMPACTI








Universitatea din Pitesti

Facultatea de Matematica-Informatica

Master Matematica aplicata, Anul I









Proiect

Analiza functionala




OPERATORI COMPACTI











COMENTARII ASUPRA CONTINUTULUI LUCRARII



Lucrarea de fata trateaza operatorii compacti, prin prezentarea proprietatilor importante ale acestora in cazul spatiilor liniare normate si prin exemplificare pe spatii Banach.

Operatorii compacti (complet contiunui) au fost introdusi in cadrul operatorilor liniari si continui in spatii normate, fiind utilizati in teoria operatorilor in spatii Hilbert, acestia din urma intervinind in particular in mecanica cuantica.

In prima parte a lucrarii s-a definit operatorul compact, s-a demonstrat ca multimea operatorilor liniar compacti care aplica in are structura de subspatiu liniar al multimii operatorilor liniari si continui care aplica in , si mai mult, in cazul in care este spatiu Banach, aceasta este subspatiu liniar inchis al multimii operatorilor liniari si continui. S a demonstrat, de asemenea, ca in cazul in care este operator compact si este operator liniar si continuu, atunci si sunt operatori compacti.

Partea a doua introduce notiunea de adjunct al unui operator si prezinta legatura dintre un operator compact si adjunctul sau.

Lucrarea se incheie cu exemple concrete de operatori compacti.






DEFINITIA SI PROPRIETATILE OPERATORILOR COMPACTI


Fie si spatii liniare normate.

Definitia 1.1 Un operator liniar se numeste compact (complet continuu), daca pentru orice multime marginita multimea este relativ compacta in

Daca un operator liniar este compact, atunci el este si continuu.

Intr-adevar, daca este sfera unitate inchisa in , atunci este marginita si este continuu.

Vom nota cu multimea operatorilor liniar compacti care aplica in .

Teorema 1.1 Daca , iar este un sir de elemente din care converge slab catre , atunci converge in norma catre .

Demonstratie. Notam si . Sa presupunem ca sirul nu converge in norma catre . Exista atunci un numar si un sir crescator de numere naturale asa ca

Pe de alta parte, sirul fiind slab convergent este marginit. Deci si subsirul este marginit. Dar atunci care converge in norma si deci si slab catre un element . Deci Cum insa rezulta

Rezulta , adica in norma) ceea ce este in contradictie cu

Teorema 1.2 Multimea este un subspatiu liniar al spatiului .

Demonstratie. Fie si . Notam . Fie o submultime marginita a lui si un sir de elemente din . Fie asa ca si sa notam . Operatorul fiind compact, sirul contine un subsir convergent ; operatorul fiind compact, sirul contine un subsir convergent . Deoarece

sirul este convergent. Multimea este deci relativ compacta si in concluzie .■

Teorema 1.3 Daca este un spatiu Banach, atunci este un subspatiu liniar inchis al spatiului .

Demonstratie. Fie un sir de elemente din si asfel ca in . Sa aratam ca .

Pentru aceasta este suficient sa demonstram ca daca este un sir marginit de elemente din , atunci contine un subsir convergent.

Consideram deci sirul marginit . Exista un subsir al sirului asfel incat sa fie convergent. Din se poate extrage un subsir astfel incat sa fie convergent. Continuand procedeul si notand , sirul este convergent, .

Avem apoi

Sirul fiind marginit exista astfel incat , deci


Deoarece , pentru orice exista astfel incat

Pe de alta parte, sirul fiind convergent, este un sir Cauchy, deci exista asfel incat




Daca in inlocuim cu si tinand seama de si obtinem

Deci este un sir Cauchy. Spatiul fiind complet, exista , deci este compact. ■

Fie multimea tuturor operatorilor compacti care aplica in si , multimea tuturor operatorilor liniari si continui care aplica in .

Teorema 1.4 Daca si , atunci .

Demonstratie. Deoarece rezulta ca multimea este marginita si atunci, intrucat rezulta ca multimea este relativ compacta. Deci .

Fie acum un sir astfel incat , . Cum rezulta ca exista un subsir astfel incat sirul este convergent.

Deoarece rezulta ca sirul este convergent. Prin urmare, .













2. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR COMPACT


Fie si doua perechi duale de spatii liniare si un operator liniar .

Definitia 2.1 Se numeste adjunctul (sau dualul) lui , operatorul dat de formula:

, .

Operatorul U este evident liniar.


In teorema urmatoare, pentru doua spattii liniare normate vom considera perechile duale ,.

Teorema 2.1 Pentru ca un operator liniar si continuu , care aplica un spatiu liniar normat intr un spatiu Banach , sa fie un operator compact, este necesar si suficient ca adjunctul sau sa fie un operator compact.

Demonstratie. Sa notam cu bila unitate inchisa in spatiul si fie un sir de elemente din , deci cu . Multimea fiind slab compacta, un subsir al sirului slab convergent catre un element . Multimea fiind egal continua, sirul converge catre si in topologia convergentei total marginite. Pe de alta parte, notand cu bila unitate inchisa din saptiul , multimea este relativ compacta. Pentru orice numar exista deci astfel ca

, .

Rezulta .

Punand acum avem deci

, .

Prin urmare, este operator compact.


Suficienta rezulta din faptul ca fiind operator compact, adjunctul sau este de asemenea operator compact si deci operatorul este compact.





EXEMPLE DE OPERATORI COMPACTI


Spatiile considerate vor fi spatii Banach reale.

3.1 Operatorul matricial. Consideram spatiul si operatorul matricial


(unde ) cu conditia ca seria dubla sa fie convergenta.

Acest operator este compact.

3.2 Operatorul integral. Notam si . Fie o functie reala continua pe . Daca , atunci functia

este continua, deoarece

Sa consideram operatorul definit prin

Acest operator este compact.

Observatii. (1) Daca prin (3.3) se considera operatorul , atunci acest operator liniar este de asemenea compact.

(2) Daca prin (3.3) se considera operatorul , atunci acest operator liniar este de asemenea compact.


3.3 Pentru , definim operatorul liniar prin

Operatorul este operator compact.


3.4 Operatorul identitate este operator compact daca si numai daca spatiul este finit dimensional.



BIBLIOGRAFIE


Analiza functionala, Romulus CRISTESCU, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1983.

Analiza functionala, Danut RUSU.

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_operator






Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }