QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Matrice, determinanti, rangul unei matrice





Matrice, determinanti, rangul unei matrice


Ce este o matrice?











































































































Cum se calculeaza determinantul unei matrice de ordin 3 sau 4.




































Ce este rangul unei matrice?







































Cum se calculeaza rangul unei matrice ?


Fie M = , N = multimea primelor m, respective n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m,n) o functie A : M N C. Daca notam A(i,j) = c, vom nota pe A sub forma



(1)

Adica printr-un tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorile functiei A. Datorita notatiei (1), in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane. Numerele se numesc elementele matricei A. De multe ori pentru matricea A se mai foloseste notatia prescurtata:

sau

Se observa ca o matrice de tipul (m,n) are mn elemente.

Cazuri particulare:


I). Daca n =1, o matrice de tipul (m,1) se numeste matrice coloana si este de forma



II). Daca m =1, o matrice de tipul (1,n) se numeste matrice - linie si este de forma



III). Daca m = n, o matrice de tipul (n,n) se numeste matrice patratica de ordinul n.


Daca


este o matrice patratica de ordinul n, sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala principala a matricei A, iar sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala secundara a matricei.

Matricea care se obtine din matricea A schimband in aceasta liniile cu coloanele se numeste transpusa matricei A si se noteaza At .



Exemple.


1)

2)


Adunerea matricelor se face pe componente iar inmultirea cu scalari se face inmultind fiecare element al matricei cu acel scalar.

Definitie. Numarul unde S este multimea tuturor permutarilor de gradul n si este signatura permutarii se numeste determinantul matricei A sau, mai simplu, determinantul de ordin n si se noteaza astfel:

Produsul se numeste termen al determinantului de ordin n.

Cazuri particulare.

. Fie A o matrice de ordin trei cu coeficienti reali, A=, determinantul matricei A, notat detA sau este un numar care se calculeaza astfel:

detA=a11a22a33+ a13a21a32+ a12a23a31- a13a22a31- a21a12a33- a11a32a23.

Daca matricea este de ordinul 4, atunci se dezvolta dupa o linie sau o coloana (de obicei prima linie)

in 4 determinanti de ordin 3. Fie A=,

det A=

Proprietati.

Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse.

Daca toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

Daca intr-o matrice schimbam doua linii (coloane) intre ele, obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

Daca o matrice are doua linii (coloane) identice, atunci determinantul sau este nul. 

Daca toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice A sunt inmultite cu un element a obtinem o matrice al carui determinant este egal cu a inmultit cu determinantul matricei initiale.

Daca elementele a doua linii (coloane) ale unei matrice sunt proportionale, atunci determinantul matricei este nul.

RANGUL UNEI MATRICE

Sa consideram o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe,

M(C),


iar k un numar natural, astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n).

Daca in A alegem k linii: si k coloane: , elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k:

M C),

al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A.

Sa consideram o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A are elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural astfel incat sa avem cel putin un minor de ordin r nenul, iar toti minorii de ordin mai mare decat r ( daca exista) sa fie nuli.

Definitie. Fie AM(c) o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rangul r, si scriem rangA=r, daca A are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r ( daca exista) sunt nuli.

Daca A este matricea nula, convenim sa spunem ca matricea are rangul 0, adica rang(

Pentru calculul rangului unei matrice este utila teorema urmatoare.

Teorema. Fie , o matrice. Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordin r al lui A, nenul, iar toti minorii de ordinul r+1

(daca exista) sunt nuli.


Aplicatie.

Sa se calculeze rangul matricei

Rezolvare.

Exista minori de ordinul al doilea nenuli, ca de exemplu:

Calculam minorii de ordinul al treilea ai matricei A si gasim ca toti sunt nuli:

. Deci rangul matricei rang A=2.




Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:




Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }