Ideale prime si idea maxime

Ideale prime si idea maxime

Am vazut in paragrafele precedente ca in studiul aritmeticii unui inel intervin si elemente din teoria idealelor. Aici vom defini doua tipuri de ideale care dunt foarte importante in intreaga matematica: ideal prim si ideal maxim.

Definitia 1. Fie A un inel comutativ unitar. Un ideal P al lui A se numeste ideal prim daca PA din faptul ca produsul a doua elemente a, b este in P rezulta ca cel putin unul dintre aceste elemente este in P.

Idealul (0) este prim in inelul A daca si numai daca A este inel integru.

In adevar, daca (0) este ideal prim si daca a, b, ab=0, atunci ab,deci sau a,adica a=0, sau b,adica b=0. Invers, daca A este inel integru, rezulta imediat din definitie ca (0) este ideal prim.

Propozitia 2. Fie A un inel integru si p un element nenul si neinversabil din A. Atunci idealul principal pA este prim daca si numai daca p este un element prim in A.

Demonstratie. Presupunem ca idelul pA este prim si fie a, b astfel incat p ab. Atunci rezulta ca ab si deoarece pA este ideal prim, avem sau a din care arata ca p a, sau b, ceea ce arata ca p b. In plus, p nu este inversabil caci in cazul contrar ar rezulta pA=A.

Reciproc, daca p este element prim, atunci rezuta ca pA A, altfel rezulta 1=ap, cu a,adica p ar fi inversabil. Fie a, b,astfel incat a,b. Aceasta inseamna ca p ab, deci p a, adica a , sau p b,adica b.

Propozitia precedenta ne permite sa dam numeroase exemple de ideale in diverse inele. Astfel inelul intregilor rationali Z sunt indeale prime (0) si toate idealele generate de numerele prime si numai acestea, deoarece Z este inel principal. Prin urmare , Z are o infinitate de ideale prime, caci numarul numerelor prime pozitive este infinit.

In inelul intregilor lui Gauss , idealul 2 nu este prim , deoarece, dupa cum am vazut 2 este reductibil, deci nu este prim. In schimb, idealele (1-i) ,(1+i) li 3 sunt prime, deoarece am aratat ca elementele 1-I, 1+I li 3 sunt ireductibile in si cum este inel factorial, rezulta ca elementele ireductibile sunt si prime. De asemenea si idealul (0) este prim cacieste integru. Daca k este un corp, atunci inelul k[X] orice ideal generat de un olinom de gradul 1 este prim. De asemenea, este evident prim si idealul nul.

Daca A este un inetgru si p un element prim in A atunci idelul p din este prim. In adevar, din 4.8 rezulta ca p este prim si in inelul si afirmatia rezulta din propozitia precedenta.

Propozitia 3. Fie un morfism de inele.

i)   Daca P' este ideal prim in A',P=(P') este idel prim in A.

ii)      Daca, in plus, este surjectiv si P este ideal prim in A astfel incat P Ker , atunci P'=(P) este ideal prim in A'.

Demonstratie. i) Stim ca P=(P') este ideal in A. Sa demonstram acum ca P este ideal prim. Fie a, b astfel incat ab. Atunci (ab)= (a)(b) si deci sau (a) , adica a, sau (b) , adica b, deoarece P' este ideal prim in A'. Avem de asemenea P A, caci (1)1

iii)    Stim ca P'=(P) este ideal in A'. Sa aratam ca P' este ideal prim. Fie a', b' astfel incat a', b' si fie a, b astfel incat(ab)= (a)(b)= a' b', adica ab=p+c, unde p si c Ker . Deoarece P Ker , avem ca ab si deoarece P este ideal prim, rezulta ca a sau b. Atunci rezulta ca (a)=a' sau (b)= b'. P A, caci daca 1, atunci rezulta ca exista a astfel incat (a)=1, deci (a-1)=0, adica a-1 Ker P, deci 1

Corolarul 4. Fie a un inel si I un ideal al sau. Atunci urmatoarele doua afirmatii sunt echivalente:

a)       I este ideal prim.

b)       Inelul factor A I este integru.

Rezulta din propozitia precedenta, tinand cont de faptul ca daca notam cu surjectia canonica, atunci Ker =I si (Ker )=(0).

Definitia Fie A un inel si M un ideal al sau. Se spune ca M este ideal maxim in A daca MA oricare ar fi idealul I al lui A, cu AIM, rezulta I=A sau I=M. Cu alte cuvinte idealele maximale sunt elementele maximale din multimea ordonata cu incluziunea a idealelor din A diferite de A .

Deoarece corpurile comutative sunt caracterizate prin faptul ca au doua ideale distincte, rezulta ca idealul (0) dintr-un inel A (comutativ) este maximal daca si numai daca A este corp.

Propozitia 6. Fie A un inel principal care nu este corp si p un element nenul si neinversabil din A. Atunci idealul pA este maximal daca si numai daca p este ireductibil.

Demonstratie. Reamintim ca A fiind principal, orice element ireductibil este prim. Daca p este ireductibil, atunci rezulta ca pAA. Fie I un inel al lui A astfel incat AIpA. Deoarece a este inel principal, exista un element a astfel incat I=aA. Din faptul ca aApA rezulta ca exista a' astfel incat p=aa' si deoarece p este ireductibil, avem ca p este sau asociat , cu a, sau a este element inversabil in A. In primul caz rezulta aA=pA, iar in al doilea caz aA=A si prima afirmatie a propozitiei este demonstrata. Fie acum M un ideal maximal in A. Deoarece A este inel principal, rezuta ca exista a astfel incat M=aA. Vom arata ca a este element ireductibil. Deoarece A este inel factorial, rezulta ca exista un element ireductibil p al inelului A astfel incat p sa divida pe a. Atunci ApAaA si deoarece pAA, rezulta ca pA=aA, deci a este ireductibil.

Propozitia precedenta ne furnizeaza numeroase exemple de ideale maximale in diverse inele principale. Astfel, in inelul intregilor Z sunt ideale maximale idealele generate de numere prime si numai acestea, iar (0) nu este ideal maximal caci Z nu este corp. In inelul intregilor lui Gauss , idealele principale generate de 3,1-i,1+i sunt ideale maximale deoarece aceste elemente sunt ireductibile iar este inel principal. Pe de alta parte, idealul generat de 2 in nu este maximal, deoarece 2 nu este ireductibil.

Daca k este un corp, atunci in inelul , care este principal, idealele maximale coincid cu idealele generate de polinoamele ireductibile. In particular, idelalele generate de polinoamele de gradul 1 sunt maximale.

Propozitia 7. Fie un morfism surjectiv de inele.

i)   Daca M' este ideal maximal in A', atunci M=(M') este ideal maximal in A.

ii)      Daca M este ideal maximal in A astfel incat Ker M, atunci M'= (M) este ideal maximal in A'.

Demonstratie. Afirmatiile rezulta din faptul ca multimile ordonate ale idealelor lui A' si idealelor lui A care contin pe Ker sunt izomorfe, deci elementele maximale din cele doua multimi ordonate se corespund.

Corolarul 8. Fie A un inel si M un ideal in A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)       M este ideal maximal in A;

b)       Inelul factorial A|M este corp.

Aplicand teorema precedenta pentru morfismul canonic, rezulta ca M este maximal in A daca si numai daca (0) este ideal maximal in A|M si acest fapt este echivalent cu acela ca A|M este corp.

Corolarul 9. Orice ideal maximal al unui inel este si ideal prim.

In adevar, din corolarul precedent rezulta ca M este ideal maximal in A, atunci A|M este corp, deci este in particular inel integru si afirmatia corolarului rezulta din 4.

Nu orice ideal prim este maximal, caci, de exemplu, in inelul Z, (0) este ideal prim dar nu este maximal.

Propozitia 10. Daca A este un inel si I este idealul sau, IA, atunci exista un ideal maximal M in A astfel icat MI.

Demonstratie. Daca consideram muItimea idealelor din A, distincte de A, care contin pe I cu relatia de incluziune, obtinem o multime ordonata care este inductiva (v. Cap.I,2). In adevar daca este o multime total ordonata de ideale din A cu A si I, atunci I'=este ideal in A (de verifica ca in demonstratia lemei 3.8) si 1. Prin urmare, I'A. Aplicand lema lui Zorn (cap.I,2), rezulta ca aceasta multime are un element maximal, care va fi evident ideal maximal in A si contine pe I.

Din propozitia 2 si teorema 3.7 rezulta ca intr-un inel principal orice ideal este produsul unui numar finit de ideale prime si din lema 4.2 rezulta ca aceasta descompunere este unica exceptand ordinea factorilor.