QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Despre sirul lui Fibonacci







Despre sirul lui Fibonacci


Cine a fost Fibonacci ?

Fibonacci a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. Nascut ȋn Italia, ȋn 1175, a fost educat ȋn Nordul Africii, unde tatal sau detinea un post diplomatic.

In 1202 revine ȋn Italia si publica un tratat de aritmetica si algebra intitulat Liber abaci ” . In acest tratat introduce pentru prima data ȋn Europa sistemul de numeratie pozitional arab. De asemenea, in1220 publica Practica geometriae ” , un compendiu de rezultate din geometrie si trigonometrie, iar in 1225 “ Liber quadratorum”, in care studia calculul radicalilor cubici.



Totusi, Fibonacci a ramas ȋn memoria noastra prin binecunoscutul sir Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .

Sirul respectiv a fost introdus de catre Fibonacci in anul 1202, atunci matematicianul fiind sub numele de Leonardo Pisano ( Leonard din Pisa). Mai tarziu matematicianul insusi si-a spus Leonardus filius Bonacii Pisanus ( Leonard fiul lui Bonaccio Pisanul). In secolul XIV sirul prezentat mai sus a fost denumit sirul lui Fibonacci prin contractia cuvintelor filius Bonacii.

Sirul de mai sus apare ȋn cartea pomenita anterior “ Liber abaci ”, fiind utilizat ȋn rezolvarea unei probleme de . matematica.


Cum si unde a fost folosit pentru prima oara sirul lui Fibonacci? – PROBLEMA IEPURILOR


Se pare ca si pe vremea lui Fibonacci se organizau concursuri de matematica. In Pisa, a participat si Fibonacci la un astfel de concurs care a fost condus de insusi ȋmparatul Frederik al II-lea. Problema propusa concurentilor suna astfel:


Problema iepurilor

Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce ȋn fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de o luna. Sa se determine cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni.

Pentru inceput vom remarca istoria acestei probleme si apoi solutia ei, precum si alte probleme ce tin de ea.

Vorbind de matematica din antichitate fiecare ar denumi cativa reprezentanti  ca Euclide, Pytagoras, Heron s.a. Unul dintre cei mai ilustri matematicieni ai Evului Mediu, contemporan cu Viete, ar fi Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele Fibonacci (prescurtare de la filus Bonacci, adica fiul lui Bonacci).

Tratatul 'Liber abaci' contine aproape toata informatia acelui timp, referitoare la aritmetica si algebra, si care a avut un rol important pe parcursul urmatoarelor secole ȋn dezvoltarea matematicii in Europa. In particular, in baza acestui tratat, europenii au luat cunostinta de scrierea arabica a numerelor, adica de sistemul de numeratie pozitional arab. La fel, ȋn 1220 publica 'Practica geometrica', in 1225 'Liber quadratorum'. Tratatul 'Liber abaci' a fost reeditat ȋn 1228. Una din problemele discutate ȋn 'Liber abaci' este anume 'problema iepurilor', (p. 123-124 ȋn editia anului 1228) prezentata la inceputul acestui material.

Rezolvarea acestei probleme.

Fie fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa n + 1, notat prin fn+1, va fi numarul de perechi la luna n, adica fn, plus numarul de iepuri nou-nascuti. Cum iepurii se nasc din pereche de iepuri cu varsta mai mare de o luna, iepurii nou-nascuti vor fi fn-1 perechi.

Prin urmare se obtine relatia

fn = fn + fn-1.


In plus,

f = 0     si     f1 = 1.


Prin urmare am obtinut un sir numeric definit in mod recurent. Scriind termenii acestui sir, determinam



numit sirul Fibonacci. Fiecare termen al sirului, incepand cu al treilea, este egal cu suma precedentilor doi termeni. Primii doi termeni se considera fiind dati, f0 = 0, f1 = 1.

Astfel 'problema iepurilor' s-a redus la rezolvarea ecuatiei functionale ( ), adica la determinarea termenului general fn a sirului, care verifica relatia ( ) in conditiile (

Presupunem ca sirul fn are forma

fn ln


unde l este un parametru real.

Substituind fn ȋn ( ), obtinem

ln ln ln

sau echivalent

ln l l

Cum fn n I N ), ultima egalitate devine

l l


care reprezinta o ecuatie de gradul doi ȋn raport cu parametrul real l Din ( ) deducem

Asadar, sirurile

verifica egalitatea ( ). De aici, deducem ca ecuatia ( ) poseda mai multe solutii. Ȋn general exista o infinitate de siruri care verifica relatia ( ). Sirul de forma


unde c1, c2 sunt constante reale fixate, de asemenea verifica relatia ( ). Mai mult, se poate arata ca orice sir ce verifica egalitatea ( ) are forma (

Sirul Fibonacci se determina univoc, si unicitatea este dictata de primii doi termeni, adica de conditiile initiale ( Substituind n = 0 si n = 1 ȋn ( ), se obtine sistemul liniar

cu solutia .

In final, termenul de rang n al sirului Fibonacci are forma





Proprietati ale sirului lui Fibonacci


1. f1 + f2 + + fn = fn+2 - 1.


Demonstratie.

f = f3 - f2

f = f4 - f3


fn = fn+1 - fn

fn = fn+2 - fn+1.

Insumand parte cu parte egalitatile anterioare se obtine

f + f2 + + fn = fn+2 - f2,

si cum f2 = 1 se obtine egalitatea (

2. f1 + f3 + f5 + + f2n-1 = f2n.

3 . f2 + f4 + + f2n = f2n+1 - 1.

Proprietatile 2 - 3 se demonstreaza similar cu 1.

4. f12 + f22 + + fn2 = fn · fn+1.


Demonstratie. Se observa cu usurinta ca re loc relatia

fn·fn+1 - fn-1fn = fn(fn+1 - fn-1) = fn2     (n I N*)

Din aceasta relatie, deducem egaliatile

f = f1·f2,

f = f2·f3 - f1·f2,

f = f3·f4 - f2·f3,


fn = fn·fn+1 - fn-1·fn.

Insumand parte cu parte egalitatile precedente se obtine egalitatea (

5. Sa se arate ca   fn+m = fn-1 · fm + fn · fm+1,


unde fn reprezinta termenul de rang n al sirului Fibonacci.

Demonstratie. Vom demonstra ( ) utilizand metoda inductiei matematice. Vom face inductia dupa m I N.

Pentru m = 1, egalitatea ( ) devine

fn = fn-1·f1 + fn·f2,

care este echivalenta cu fn+1 = fn-1 + fn . (adevarat)

Pentru m = 2 formula ( ) la fel este evidenta. Intr-adevar,

fn = fn-1f2 + fnf3 = fn-1 + 2fn = fn-1 + fn + fn = fn+1 + fn.

Astfel baza inductiei este verificata (m = 1; m = 2). Presupunem ca ( ) este adevarata pentru m = k si m = k + 1 si vom demonstra ca este adevarata si pentru m = k + 2.

Asadar, presupunand ca sunt adevarate egalitatile

fn+k = fn-1fk + fnfk+1,

fn+k+1 = fn-1fk+1 + fnfk+2.

Insumand parte cu parte ultimele egalitati, se obtine

fn+k+2 = fn-1·fk+2 + fn·fk+3,

care reprezinta egalitatea ( ) pentru m = k + 2.

6. f2n = fn-1fn + fn·fn+1.

Egalitatea rezulta din ( ) punand m = n.

7. Termenul f2n se divide prin fn.

Demonstratie. Din 6 rezulta

f2n = fn(fn-1 + fn+1),

de unde rezulta ca f2n  este divizibil cu fn.

Proprietatile 8 - 9 sunt consecinte directe ale egalale egalitatii 6.

10. fn2 = fn-1fn+1 + (-1)n+1


Demonstratie. Vom demonstra egalitatea ( ) prin inductie dupa n.

Pentru n = 2 egalitatea ( ) devine

f = f1·f3 - 1,

care este adevarata.

Presupunem ca ( ) este adevarata pentru n si vom demonstra ca este adevarata si pentru n + 1. Presupunem ca are loc egalitatea

fn = fn-1·fn+1 + (-1)n+1.



Adunam la ambele parti ale ultimei egalitati fn·fn+1. Ca rezultat se obtine

fn + fn·fn+1 = fn-1·fn+1 + fn·fn+1 + (-1)n+1,

sau echivalent

fn(fn + fn+1) = fn+1(fn-1 + fn) + (-1)n+1,

si cum fn+2 = fn + fn+1 (a se vedea definitia sirului Fibonacci) deducem

fnfn = fn+12 + (-1)n+1,

sau

fn = fn·fn+2 + (-1)n+2.

Deci ( ) este adevarata si pentru n + 1.

11. Sa se arate ca daca n este divizibil cu m atunci fn este divizibil prin fm.

Demonstratie. Fie , adica n = mk. Vom demonstra proprietatea ( ) prin inductie dupa k. Pentru k = 1, n = m, si deci, fn evident este divizibil prin fm. Presupunem ca fmk este divizibil prin fm. Sa examinam fm(k+1). Cum fm(k+1) = fmk+m si utilizand egalitatea (10) se obtine

fm(k+1) = fmk-1fm + fmk·fm+1.

Primul termen al sumei din dreapta evident este divizibil prin fm. Termenul al doilea este divizibil prin fm conform presupunerii inductive. Prin urmare suma acestor termeni este divizibila prin fm, si deci . Proprietatea 11 este demonstrata.


Eminescu si sirul lui Fibonnaci


Daca luam  trei termeni consecutivi din sirul Fibonacci (de exemplu  1, 2, 3) si ii vom numi “ieri”, “azi”, “maine”. Relatia dintre termeni este:

“maine” – “ieri” = “azi”

Sa retinem acest lucru!

Dar care este  legatura dintre  Mihai Eminescu si acest sir?

Intr-una dintre poeziile sale acesta spune:


“Cu mane zilele-ti adaogi,

Cu ieri viata ta o scazi

Si ai cu toate astea-n fata

De-a pururi ziua cea de azi.”

(Cu mane zilele-ti adaogi – M. Eminescu)

Observam ca primele doua versuri reprezinta diferenta dintre “maine” si “ieri”.

Al treilea vers da semnul egal, iar versul al patrulea este tocmai “azi


Despre “Sectiunea de aur”


Problema inmultirii iepurilor este departe de a fi realista, chiar daca a dus la o descoperire atat de importanta cum este acest sir. Dar cunoscutul sir al lui Fibonacci, generat de aceasta problema, are numeroase aplicatii, deosebit de interesante. Unul dintre cele mai importante aspecte este legatura dintre numerele Fibonacci si sectiunea de aur.

Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale sau , pare a face parte din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic ȋn lumea vie. De exemplu, o regasim in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc, etc .

Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o masura a armoniei si echilibrului.

Marea reputatie a lui Fibonacci a facut ca imparatul Germaniei Frederic II sa vina ȋn 1225 la Pisa, ȋnsotit de un grup de matematicieni, care doreau sa il supuna pe Fibonacci la un examen public. Una din problemele date spre rezolvare a fost:

-sa se gaseasca un patrat perfect , care ramane patrat perfect daca este marit sau micsorat cu 5. Dupa un timp de gandire , Fibonacci a gasit numarul cautat. Era fractia: sau .

Intr-adevar: si


Sau si

Nu cunoastem rationamentul lui Fibonacci , dar problema a fost rezolvata ȋn mod stralucit.

Oare nu cumva Fibonacci a plecat de la reprezentarea geometrica a oricarui patrat perfect ca suma unor numere impare ordinale?

Pornind de la aceasta ipoteza, Viaceslav Nezabutkin a gasit o solutie originala a problemei lui Fibonacci, care este interesanta tocmai prin faptul ca se apropie de metodele folosite pe timpul lui Fibonacci.

Secventa numerelor lui Fibonacci a fascinat de-a lungul istoriei pe foarte multi oameni de stiinta, matematicieni, fizicieni, biologi si continua sa o faca chiar si ȋn prezent.


Fibonacci si natura


Plantele nu au cum sa cunoasca numerele lui Fibonacci, dar ele se dezvolta in cel mai eficient mod. Astfel, multe plante au aranjamentul frunzelor dispus intr-o secventa Fibonacci in jurul tulpinei. Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci, si de asemenea aranjarea semintelor de floarea soarelui. Inelele de pe trunchiurile palmierilor respecta numerele lui Fibonacci. Motivul pentru toate acestea este realizarea unui optim, a unei eficiente maxime. Astfel de exemplu, urmand secventa lui Fibonacci, frunzele unor plante pot fi dispuse astfel ȋncat sa ocupe un cat mai mic spatiu si sa obtina cat mai multa lumina de la soare.


Ideea dispunerii frunzelor ȋn acest mod pleaca de la considerarea unghiului de aur de 222, 5 grade, unghi care impartit la ȋntregul 360 de grade va da ca rezultat cifra 0.61803398, cunoscuta ca ratia sirului lui Fibonacci.

Cu alte cuvinte, numarul petalelor florilor este de cele mai multe ori, un numar al secventei Fibonacci:

iris, crin: 3 petale

trandafir salbatic, viorele, lalele, majoritatea florilor: 5 petale

margaretele pot avea 34 de petale sau 21 de petale pentru cele mai soiuri
si exemplele sunt nenumarate.


Cochilia melcului

Cati dintre noi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesiti 'la plimbare' dupa o ploaie de vara. Designul ei urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam trasand-o cu pixul. Fiind studiata mai in amanuntime, s-a ajuns la concluzia ca aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci:

pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13, samd

pe axa negativa: 0, 1, 3, 8, samd..



Dupa cum putem observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci.

Ratiunea si motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in interior un maxim de spatiu si de siguranta. Este inca unul din nenumaratele exemple de aplicare a secventei in natura.

Corpul uman

Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange separate prin 2 incheieturi (numere in secventa). In medie, dimensiunile falangelor sunt: 2cm, 3cm, 5cm. In continuarea lor este un os al palmei care are in medie 8 cm.

Fata umana este caracterizata, din punct de vedere estetic prin cateva dimensiuni principale: distanta intre ochi, distanta dintre gura si ochi si distanta dintre nas si ochi, dimensiunea gurii. In stiinta esteticii se apreciaza ca fata este cu atat considerata mai placuta ochiului cu cat aceste dimensiuni respecta mai bine secventa lui Fibonacci.

Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi, de fapt, sistemul de numarare al naturii, un mod de masurare al Divinitatii. Aceste numere apar peste tot in natura, pornind de la aranjamentul frunzelor, de la sabloanele petalelor unei flori si ajungand la falangele mainii umane. Descrierile si pozele prezentate pot fi argumente ale acestor afirmatii, marturii ale acestei fascinante secvente a numerelor lui Fibonacci.







Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2021 - Toate drepturile rezervate QReferat.com Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }