Teste statistice pentru comparatia unei caracteristici observate cu o caracteristica teoretica

Teste statistice pentru comparatia unei caracteristici observate cu o caracteristica teoretica

Vom prezenta o problema care se rezolva prin aplicarea unor teste statistice pentru comparatia unei caracteristici observate cu o caracteristica teoretica.

Problema 1. Sa se studieze daca tensiunea arteriala sistolica este influentata de administrarea unui tratament cu medicamente care cauzeaza vasoconstrictie. Se stie ca media tensiunii arteriale sistolice la o populatie de adulti sanatosi este de 120mm Hg si deviatia standard 10mm Hg. Pentru a raspunde la aceasta intrebare se ia in studiu un esantion de 25 de indivizi alesi aleator din populatia de adulti sanatoasa care au consumat in prealabil un anumit medicament ce produce vasoconstrictie.

Testarea ipotezelor in cazul mediei unui esantion

a. Testarea daca media esantionului este mai mare decat media populatiei

b. Testarea daca media esantionului este mai mica decat media populatiei

c. Testarea daca media esantionului este egala cu media populatiei

Testarea se poate face folosind testele Z sau t. La punctele a si b vom folosi teste directionale sau one-tailed. La punctul c vom folosi test nedirectional sau two-tailed.

Z-Test

Formula pentru parametrul testului Z este:

Z =

unde

  m este  media esantionului

m este media populatiei

s este abaterea standard a populatiei

n volumul esantionului.

Conditii pentru Z-test:

1. Observatiile sunt independente.
2. Indivizii sunt alesi aleator din populatie.
3. Observatiile sunt distribuite normal in populatie.
4. Este cunoscuta deviatia standard a populatiei.

Instructiuni:

1. Introduceti datele intr-un tabel Excel.
2. Introduceti urmatorul tabel in coloana D:

3. Calculati media aritmetica in celula E3 cu ajutorul functiei Average (Insert-Function-Average, Value1 B2:B26).
4. Calculati talia esantionului in celula E6 cu ajutorul functiei Count. (Insert-Function-Count, Value1 B2:B26).
5. Calculati eroarea standard in celula E7. Formula de calcul pentru eroarea standard este . Pentru a calcula aceasta formula se va introduce in celula E7 urmatoarea formula: =E5/SQRT(E6) Clic Enter. SQRT este functia care calculeaza radacina patrata dintr-un numar.

6. Calculati parametrul Z in celula E8 dupa formula . Selectati celula E8 si introduceti formula: E3-E4)/E7. Apasati tasta Enter.

7. Probabilitatea one-tailed. Vom afla probabilitatea one-tailed asociata cu Z calculat. Selectati celula E10. Introduceti formula: =1-NORMSDIST(ABS(E8)). Apasati tasta Enter. NORMSDIST - returneaza probabilitatea corespunzatoare distributiei cumulative normale standard pentru o valoare Z specificata. ABS returneaza valoarea absoluta a parametrului. Este posibil ca Z sa fie atat pozitiv cat si negativ.

8. Z-critic one-tailed. Pentru calcularea valorii critice pentru testul Z one-tailed vom selecta celula E11. Vom introduce formula: =ABS(NORMSINV(-0,05)). Apasati tasta Enter. ABS returneaza valoarea absoluta a parametrului, Z critic este atat pozitiv cat si negativ. Vom calcula numai valoarea pozitiva, cea negativa este -Zcritic. NORMSINV - returneaza inversa distributiei normale cumulative standard pentru o valoare specificata. Parametrul este 0 este probabilitatea p corespunzatoare lui Z critic.

9. Probabilitatea two-tailed. Pentru a calcula probabilitatea two-tailed se poate dubla probabilitatea one-tailed.  Selectati celula E12. Introduceti formula: =2*E10. Apasati tasta Enter.

10. Z critic two-tailed. Se calculeaza la fel cu t critic one-tailed cu exceptia ca se ia probabilitatea pentru one-tailed si la stanga si la dreapta, adica 0,025. Selectati celula E13. Introduceti formula: =ABS(NORMSINV(0,025)). Apasati tasta Enter.

11. Dupa toti pasii de mai sus se vor obtine urmatoarele rezultate:

12. Interpretarea rezultatelor

Media aritmetica - media aritmetica a TAS pentru cei 25 de pacienti sanatosi care au consumat in prealabil un anumit medicament ce produce vasoconstrictie: 125,04.

Media aritmetica a populatiei  sanatoase - Se stie ca media tensiunii arteriale sistolice la o populatie de adulti sanatosi este de 120mm Hg. Ipoteza care se testeaza aici este ca media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este egala cu media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase.

Deviatia standard a populatiei - Se stie ca deviatia standard a tensiunii arteriale sistolice la o populatie de adulti sanatosi este de 10mm Hg

Talia esantionului este 25 = numarul pacientilor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie.

Eroarea standard furnizeaza o aproximatie a dispersiei datelor de la media populatiei. Pentru acest exemplu se poate spune ca media esantionului pentru esantioane de 25 de indivizi trebuie sa fie intr-o vecinatate de valoare 2 a mediei populatiei.

Z este parametrul testului.

Alpha - Nivelul de semnificatie pentru testul statistic. Nivelul de semnificatie trebuie stabilit inainte. De obicei se alege valoarea 0,05.

Probabilitatea one-tailed - sau one-tailed p-value. Daca se adevereste ipoteza nula ca media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este egala cu media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase 120, atunci probabilitatea de a obtine Z ≤ - 2,52 este de 0,006 sau probabilitatea de a obtine Z ≥ 2,52 este de 0,006. Deoarece probabilitatea obtinuta este mai mica decat alpha=0,05 se poate trage concluzia ca testul one-tailed este statistic semnificativ. Ipoteza nula este infirmata. Se poate spune ca  media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este semnificativ mai mare decat media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,05.

Z critic one-tailed ≤ 2,5. Daca  se poate spune ca  media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este semnificativ mai mare sau mai mica decat media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,05. (tcritic corespunde probabilitatii 0,05).

Probabilitatea two-tailed- sau two-tailed p-value. Daca se adevereste ipoteza nula ca media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este egala cu media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase 120, atunci probabilitatea de a obtine Z ≤ - 2,52 plus probabilitatea de a obtine Z ≥ 2,52 este de 0,01. Deoarece probabilitatea obtinuta este mai mica decat alpha=0,05 se poate trage concluzia ca testul one-tailed este statistic semnificativ. Ipoteza nula este infirmata. Se poate spune ca  media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este semnificativ diferita de media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,05.

Z critic two-tailed ≤ 2,5. Daca  se poate spune ca  media aritmetica a TAS a celor care au consumat medicamente ce produc vasoconstrictie este semnificativ diferita de media aritmetica a TAS a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,05. (tcritic=1,96 corespunde probabilitatii 0,05).

Gasirea intervalului de incredere pentru Z-Test pentru un esantion

Intervalul de incredere se calculeaza cu formula: unde m este media aritmetica a esantionului, Z_crit este Z critic two tailed,  este eroarea standard a mediei.

1. Introduceti sub tabelul executat mai sus urmatoarele:

2. Selectati celula E16. Introduceti: =E3-E13*E7.

3. Selectati E17. Introduceti: =E3+E13*E7.

4. Vom obtine urmatoarele rezultate:

5. Interpretarea intervalului de incredere: intervalul de incredere al mediei populatiei specifica intervalul care include media necunoscuta a populatiei cu un anumit nivel de incredere.  Cand alpha este 0,05, atunci vom avea un interval de incredere de 95%. In cazul nostru intervalul de incredere este  pentru media populatiei este [121,12 ]. Putem afirma ca media aritmetica a TAS a celor ce consuma medicamente ce produc vasoconstrictie se gaseste in intervalul [121,12 ] cu o eroare de 0,05.

Observatie: Testul Z a fost semnificativ, deoarece media TAS a populatiei sanatoase 120 nu apartine intervalului de incredere [121,12;128,96].

Problema 2. Exista ipoteza ca bolnavii de artrita reumatoida au un risc mai mare de a dezvolta osteoporoza. Au fost observati 20 de bolnavi de artrita reumatoida toti de sex masculin si de aceeasi varsta. Pentru acesti pacienti s-a masurat nivelul calcitoninei (HCT). Se stie ca pentru adultii sanatosi media HCT este 47,9pg/ml. Valorile HCT observate se gasesc mai jos:

t-Test

Formula pentru parametrul testului t este:

t =  ,

unde

  m este  media esantionului

m este media populatiei

  S este abaterea standard a esantionului

  n volumul esantionului.

Conditii pentru t-test:

1. Observatiile sunt independente.
2. Indivizii sunt alesi aleator din populatie.
3. Observatiile sunt distribuite normal in populatie.
4. Deviatia standard a populatiei este necunoscuta.
5. Talia esantionului este mai mica decat 30.

Instructiuni:

1. Introduceti datele intr-un tabel Excel.
2. Introduceti urmatorul tabel in coloana D:

3. Calculati media aritmetica in celula E3 cu ajutorul functiei Average (Insert-Function-Average, Value1 B2:B21).
4. Calculati deviatia standard a esantionului in celula E5 cu ajutorul functiei Stdev (Insert-Function-Stdev, Value1 B2:B21).
5. Calculati talia esantionului in celula E6 cu ajutorul functiei Count. (Insert-Function-Count, Value1 B2:B21).
6. Calculati eroarea standard in celula E7. Formula de calcul pentru eroarea standard este . Pentru a calcula aceasta formula se va introduce in celula E7 urmatoarea formula: =E5/SQRT(E6) Apasati tasta Enter. SQRT este functia care calculeaza radacina patrata dintr-un numar.

7. Calculati parametrul t in celula E8 dupa formula: . Selectati celula E8 si introduceti formula: E3-E4)/E7. Apasati tasta Enter.

8. Alegem alpha=0 . introducem in celula E9 valoarea 0,01.
9. df - gradele de libertate. Pentru t test avem n-1 grade de libertate. Selectam celula E10 si introducem formula: =E6-1 Apasati Enter.
10. Probabilitatea one-tailed. Vom afla probabilitatea one-tailed asociata cu t calculat cu ajutorul functiei TDIST - returneaza probabilitatea corespunzatoare distributiei t  pentru o valoare t specificata. Selectati celula E11. Din meniul Insert alegeti optiunea Function. Selectati categoria Statistical la rubrica Category. Selectati functia Tdist din lista de functii:

11.  La rubrica X introduceti referinta celulei unde a fost calculat t, este de dorit ca valoarea sa fie pozitiva, adica ABS(E8). ABS returneaza valoarea absoluta a parametrului. La rubrica Deg_freedom se vor introduce gradele de libertate pe care le-am calculat in celula E10. La rubrica Tails se va introduce 1 pentru distributia one-tailed si 2 pentru distributia 2-tailed. Clic OK.

12. t-critic one-tailed. Pentru calcularea valorii critice pentru testul t one-tailed vom selecta celula E12. Vom afla t critic one-tailed cu ajutorul functiei TINV - returneaza inversa distributiei t  pentru o valoare p specificata. Din meniul Insert alegeti optiunea Function. Selectati categoria Statistical la rubrica Category. Selectati functia Tinv din lista de functii:

13. La rubrica Probability introduceti valoarea 0 . La rubrica Deg_freedom se vor introduce gradele de libertate pe care le-am calculat in celula E10. Clic OK.

14. Probabilitatea two-tailed. Vom afla probabilitatea one-tailed asociata cu t calculat cu ajutorul functiei TDIST - returneaza probabilitatea corespunzatoare distributiei t  pentru o valoare t specificata. Selectati celula E13. Din meniul Insert alegeti optiunea Function. Selectati categoria Statistical la rubrica Category. Selectati functia Tdist din lista de functii:

15.  La rubrica X introduceti referinta celulei unde a fost calculat t, este de dorit ca valoarea sa fie pozitiva, adica ABS(E8). ABS returneaza valoarea absoluta a parametrului. La rubrica Deg_freedom se vor introduce gradele de libertate pe care le-am calculat in celula E10. La rubrica Tails se va introduce 1 pentru distributia one-tailed si 2 pentru distributia 2-tailed. Clic OK.

16. t-critic two-tailed. Pentru calcularea valorii critice pentru testul t one-tailed vom selecta celula E12. Vom afla t critic two-tailed cu ajutorul functiei TINV - returneaza inversa distributiei t  pentru o valoare p specificata. Din meniul Insert alegeti optiunea Function. Selectati categoria Statistical la rubrica Category. Selectati functia Tinv din lista de functii:

17. La rubrica Probability introduceti referinta celulei unde se gaseste alpha E9. La rubrica Deg_freedom se vor introduce gradele de libertate pe care le-am calculat in celula E10. Clic OK.

18. Dupa toti pasii de mai sus se vor obtine urmatoarele rezultate:

19. Interpretarea rezultatelor

Media aritmetica - media aritmetica a HCT pentru cei 20 de pacienti bolnavi de artrita reumatoida: 29,7 pg/ml.

Media aritmetica a populatiei  sanatoase - Se stie ca media HCT la o populatie de adulti sanatosi este de 47,9pg/ml. Ipoteza care se testeaza aici este ca media aritmetica a HCT a celor care sunt bolnavi de artrita reumatoida este egala cu media aritmetica a HCT a populatiei sanatoase.

Deviatia standard a esantionului - este de 9,91pg/ml este deviatia standard cu care vom aproxima deviatia standard a populatiei sanatoase

Talia esantionului este 20 = numarul pacientilor cu artrita reumatoida luati in observatie.

Eroarea standard furnizeaza o aproximatie a diferentei dintre media populatiei si cea a esantionului. Pentru acest exemplu se poate spune ca media esantionului pentru esantioane de 20 de indivizi trebuie sa fie intr-o vecinatate de valoare 2 a mediei populatiei.

t este parametrul testului.

Alpha - Nivelul de semnificatie pentru testul statistic. Nivelul de semnificatie trebuie stabilit inainte. Am ales valoarea 0,01.

df   gradele de libertate. Pentru testul t se calculeaza dupa formula df=n-1. In cazul nostru df=19.

Probabilitatea one-tailed - sau one-tailed p-value. Daca se adevereste ipoteza nula ca media aritmetica a HCT a celor care au artrita reumatoida 29,7 este egala cu media HCT a populatiei de adulti sanatosi 47,9, atunci probabilitatea de a obtine t ≤ - 8,21 este mai mica de 0,00001 sau probabilitatea de a obtine t ≥ 8,21 este mai mica de 0,00001. Deoarece probabilitatea obtinuta este mai mica decat alpha=0 se poate trage concluzia ca testul one-tailed este statistic semnificativ. Ipoteza nula este infirmata. Se poate spune ca  media aritmetica a HCT a celor care au artrita reumatoida este semnificativ mai mica decat media aritmetica a HCT a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,01.

t critic one-tailed = 2,54 ≤ 8,21. Daca  se poate spune ca  media aritmetica a HCT a celor care au artrita reumatoida este semnificativ mai mare sau mai mica decat media aritmetica a HCT a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,01. (tcritic corespunde probabilitatii 0,01).

Probabilitatea two-tailed- sau two-tailed p-value. Daca se adevereste ipoteza nula ca media aritmetica a HCT a celor care au artrita reumatoida este egala cu media aritmetica a HCT a populatiei sanatoase 47,9, atunci probabilitatea de a obtine t ≤ - 8,21 plus probabilitatea de a obtine t ≥ 8,21 este mai mica de 0,00001. Deoarece probabilitatea obtinuta este mai mica decat alpha=0,01 se poate trage concluzia ca testul one-tailed este statistic semnificativ. Ipoteza nula este infirmata. Se poate spune ca  media aritmetica a HCT a celor care au artrita reumatoida este semnificativ diferita de media aritmetica a HCT a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,01.

t critic two-tailed= 2,86 ≤ 8,21. Daca  se poate spune ca  media aritmetica a HCT a celor care au artrita reumatoida este semnificativ diferita de media aritmetica a HCT a populatiei sanatoase cu o eroare alpha = 0,01. (tcritic=2,86 corespunde probabilitatii 0,01).

Gasirea intervalului de incredere pentru testul t pentru un esantion

Intervalul de incredere se calculeaza cu formula: unde m este media aritmetica a esantionului, t_crit este t critic two tailed, E_S este eroarea standard a mediei.

1. Introduceti sub tabelul executat mai sus urmatoarele:

2. Selectati celula E18. Introduceti: =E3-E14*E7.

3. Selectati E19. Introduceti: =E3+E14*E7.

4. Vom obtine urmatoarele rezultate:

5. Interpretarea intervalului de incredere: intervalul de incredere al mediei populatiei specifica intervalul care include media necunoscuta a populatiei cu un anumit nivel de incredere. Cand alpha este 0,01, atunci vom avea un interval de incredere de 99%. In cazul nostru intervalul de incredere pentru media populatiei este [23,36;36,04]. Putem afirma ca media aritmetica a HCT a celor au artrita reumatoida se gaseste in intervalul [23,36 ] cu o eroare de 0,01.

Observatie: Testul t a fost semnificativ, deoarece media HCT a populatiei sanatoase 47,9 pg/ml nu apartine intervalului de incredere [23,36;36,04].