Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Utilizarea metodei teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea unui circuit sau a unei retele de c.c. presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

a. caracterizarea topologica a circuitului/retelei, respectiv stabilirea numarului de laturi (L), noduri independente (N) si ochiuri fundamentale (0 = L - N+1);

b. adoptarea (in mod arbitrar) de sensuri de parcurgere a ochiurilor (sensuri de referinta), precum si de sensuri conventionale (pozitive) pentru t.e.m., curenti si tensiuni;

c. scrierea ecuatiilor corespunzatoare teoremelor lui Kirchhof, si anume

(N-1) ecuatii, pentru teorema I, si O ecuatii, pentru teorema a II-a.

Numarul total al ecuatiilor sistemului va fi egal cu L, respectiv cu numarul curentilor din laturi;

d. rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice liniare, respectiv determinarea curentilor din laturile circuitului.

Pe baza curentilor se pot determina apoi tensiunile la bornele laturilor, utilizand, pentru fiecare latura in parte, ecuatia laturii, scrisa fie dupa conventia de la generatoare, fie dupa cea de la receptoare.

Daca rezulta curenti negativi, se schimba sensurile acestora pe laturile respective ale circuitului.

e. verificarea rezultatelor obtinute, in care scop se pot utiliza ca metode:

metoda bilantului de puteri; calculul unei tensiuni intre doua noduri oarecare pe drumuri diferite.

Mentiuni

1. Calculul tensiunilor intre doua noduri nealaturate ale unui ochi de circuit se face scriind ecuatiile laturilor cuprinse intre cele doua noduri, fie dupa regula de la generatoare, fie dupa cea de la receptoare. Astfel, daca cele doua noduri sunt A si M, aplicand regula de la receptoare se obtine:

unde m este numarul laturilor cuprinse intre cele doua noduri.

2. Pentru efectuarea bilantului puterilor se va vedea subcap. 4.5.

3. Solutiile ecuatiilor lui Kirchhoff sunt univoc determinate.

Aplicatie

Se considera circuitul din fig. 4.4.3, pentru care se cunosc: E₁ = 48V; E₂ = 15V; E₄ = 6V; R₁ = R₅ = 2; R₃ = R₄ = 3; R₆ = 4; R₂ = 5.

Sa se determine curentii din laturi si sa se verifice rezultatul prin metoda bilantului de puteri.

Rezolvare

Se va utiliza metoda teoremelor lui Kirchhoff sub forma matriceala. Se evalueaza mai intai elementele de topologie ale circuitului:

N = 4; L = 6; 0 = L - N + 1 = 3 .

Se aleg sensuri de parcurs arbitrare pe ochiurile O_I, O_II, O_III (sensuri de referinta), precum si sensuri conventionale pentru curentii laturilor (I_1,..I₆).

Se scriu matricele:

Se aplica prima teorema:

Se aplica a doua teorema:

Cele doua matrice conduc la sistemul:

ale carui solutii sunt: I₁ = 5A; I₂ = 3A; I₃ = 4A; I₄ = -7A; I₅ = -8A; I₆ = 1A.

Verificarea rezultatelor se face cu ajutorul teoremei de bilant a puterilor.

Se calculeaza:

Se vede ca si, ca urmare, rezultatele obtinute sunt corecte.