Teoremele reciprocitatii lucrului mecanic si a deplasarilor. Teorema lui Betti

Asupra unui corp oarecare se aplica doua stari succesive de solicitare, produse de doua grupe succesive de sarcini, aplicand asupra corpului prima stare de solicitare , punctele de aplicatie ale fortelor sufera deplasari, deci fortele produc lucrul mecanic, iar corpul acumuleaza energia L₁₁ .

Primul indice ( 1 ) indica faptul ca lucrul mecanic este produs de fortele din prima stare de solicitare, al doilea indice ( 1 ) indica deplasarile din prima stare.

Apoi pe corpul deformat se aplica o a doua grupa de forte , deci o a doua stare de solicitare , care cauzeaza o a doua grupa de deplasari, in acest moment, fortele din a doua stare produse , corespunzator deplasarilor produse de ele , lucrul mecanic L₂₂ .

In acelasi timp insa , fortele din prima stare , care se aflau aplicate pe corp, produc , datorita deplasarilor , produse din a doua stare, lucrul mecanic L₁₂ , in final energia acumulata de corp , egala cu lucrul mecanic al fortelor exterioare, este L₁₁ + L₂₂ + L₁₂ .

Schimband ordinea de aplicare a sarcinilor , deci incepand cu a doua si aplicand acelasi rationament, rezulta lucrul mecanic total

L₂₂ + L₁₁ + L₂₁ , unde L₂₁ este lucrul mecanic datorita fortelor din a doua stare si deplasarile produse de prima , in fond energia totala fiind aceeasi deci : L₁₁ + L₂₂ + L₁₂ = L₂₂ + L₁₁ + L₂₁ .

Implica L₁₂ = L₂₁ ; aceasta fiind teorema reciprocitatii lucrului mecanic sau teorema lui Betti care este : daca asupra unui corp deformabil se aplica doua stari de incarcare succesive, lucrul mecanic efectuat de fortele ( si cuplurile ) din prima stare cu deplasarile ( sageti si unghiuri ) din a doua este egal cu lucrul mecanic efectuat din a doua stare cu deplasarile din prima stare de incarcare.

Problema nr.9

Sa se calculeze sageata din punctul D , pentru bara din figura 38 a) , stiind ca : E = 2,1.10⁵ N/mm² ; F = 4 kN ; l = 0,73 m , sectiunea transversala fiind circulara cu diametru d = 60 mm.

Figura 38

; prima stare de incarcare , se ia incarcarea reala a barei , iar drept a doua stare se aplica o forta egala cu unitatea ( forta versor a fortei P ) in sectiunea unde urmeaza a se afla sageata [ figura 38 cazul b)] . Deci bara este supusa succesiv la fortele , este forta versor ( unitate) si se aplica in sectiunea transversala D. Lucrul mecanic al fortelor din prima stare de incarcare , adica a fortei P , cu deplasarea corespunzatoare de la a doua stare este L₁₂ = - Pv ;

v = v_Q ( s-a luat cu minus pentru ca v este in sens invers cu forta P ) .

Analog , forta versor ( unitara) de la a doua stare cu deplasarea din dreptul ei de la prima stare da L₂₁ = - 1.f ( semnul minus pentru ca forta unitara s-a luat de sens contrar sagetii f ) deci : L₁₂ = L₂₁ ;

-Pv = -1.f ; rezulta ca Pv = 1.f , [Pv] = [1.f ] ; [P] [v] = [1].[f ] ;

[kN] . [m ] = [kN] . [m] ( forta unitate poate fi : 1 kN ; 1 N ; etc. ) . Pentru bara din figura 38 cazul b) :

; ; ecautia de verificare.

; 1.2l - V_B. 6l =0 ; ; ;

- 1.4l +V_A. 6l =0 ; .

Figura 39

; ecautia de verificare, ; este indeplinita ecautia de verificare.

Aplicam procedeul Clebsch, pentru calculul sagetilor si a rotirilor, in cazul nostru trebuie sa determinam rotirea in punctul A ( rotirea in origine ) , am luat ca origine capatul A ( A = O si aceasta origine ramane neschimbata pe tot timpul rezolvarii problemei). ; este expresia momentului generalizator din ultima regiune, ;

deci, D = 0 . Aflam pe C din a doua conditie de reazem:

; rezulta ca ,

C = 2,22 l² ;

; .

Din figura 39 portiunea BQ nu este solicitata deci M_iz (x) = 0 , aplicam ecuatia fibrei medii deformate pe aceasta regiune si se obtine:

; ; ; este ecutia dreptei BM (ecuatia fibrei medii deformate) .

In triunghiul BQM din figura 38 cazul b) aplicam functiile trigonometrice :

; ;

sageata in D , fiind f_D = f ; ; ;