Produs cartezian al unei familii de multimi

PRODUS CARTEZIAN AL UNEI FAMILII DE MULTIMI

Fie I si A o multime oarecare; o functie φ: I A se mai numeste si multime indexata de elemente din A dupa multimea de indici I (sau familie de elemente din A indexata dupa I ). Se noteaza

φ = (a_i)_iII = (a_i)_i, unde a_i = φ(i).

Daca I = , atunci folosim notatia (a_i)_iII = (a₁, a₂, . , a_n) si (a₁, a₂, , a_n) se mai numeste n-uplu.

Daca elementele lui A sunt multimi (sau submultimi ale unei multimi T) obtinem

notiunea de familie de multimi (resp. familie de submultimi a lui T).

Fie (A_i)_iII o familie de multimi. Atunci multimile

A_i , resp. A_i =

iII iII

se numesc reuniunea, resp. intersectia familiei (A_i)_iII

Fie (A_i)_iII o familie de multimi. Multimea

A_i =

iII iII

se numeste produs cartezian sau produs direct al familiei (A_i)_iII

Astfel, putem scrie:

A_i = .

iII

Daca A_i = A oricare ar fi i I I, atunci produsul cartezian nu este altcineva decat multimea A^I = . Daca I = , atunci notam _iII A_i cu A₁ x A₂ x x A_n.    Deci A₁ x A₂ x x A_n = . In cazul n = 2 obtinem produsul cartezian a doua multimi introdus in §1. Daca A₁ = A₂ = . = A_n = A vom nota Aⁿ = A₁ x A₂ x x A_n. Fie i I I; functia p_i : _jII A_j A_j, definita prin egalitatea p_i(φ) = φ(i) I A_i, unde φ I _jII A_j (sau p_i((x_j)_jII) = x_i) se numeste i-proiectia canonica a produsului cartezian pe multimea A_i.

In teoria multimilor se admite urmatoarea axioma:

Axioma alegerii. Daca (A_i)_iII este o familie nevida de multimi nevide, atunci

A_i

iII

Echivalenta cu axioma alegerii este urmatoarea afirmatie: daca S este o colectie nevida de multimi nevide disjuncte doua cate doua, atunci exista o multime A, numita multime selectiva, astfel incat A X este formata dintr-un singur element oricare ar fi XI S.