Metoda curentilor de ochiuri (ciclici)

Metoda curentilor de ochiuri (ciclici)

Metoda curentilor de ochiuri, numita si metoda curentilor ciclici (Maxwell) prezinta avantajul ca opereaza cu un numar mai mic de variabile fata de metoda teoremelor lui Kirchhoff si anume, cu O < L, unde O este numarul de ochiuri fundamentale ale retelei.

Marimile variabile in ecuatiile retelei vor fi in acest caz curentii de ochiuri (ciclici) - curenti fictivi atribuiti ochiurilor fundamentale, astfel incat curentul din fiecare latura k sa fie egal cu suma algebrica a curentilor ciclici care parcurg latura respectiva:

Sumarea se efectueaza pentru toti curentii ochiurilor q carora le apartine latura k.

Matematic, relatia (4.4.39) reprezinta o schimbare liniara de variabila de la L necunoscute (curentii laturilor) la O necunoscute (curentii fictivi atribuiti ochiurilor fundamentale). Acest lucru este posibil numai in conditiile asigurarii compatibilitatii cu sistemul ecuatiilor lui Kirchhoff. Astfel, cele (N-1) ecuatii date de prima teorema a lui Kirchhoff sunt identic satisfacute, deoarece fiecare curent ciclic intra si iese odata in fiecare nod, aducand o contributie nula la curentul total prin suprafata inchisa care cuprinde nodul:

Restul de O variabile vor fi univoc determinate de cele L - (N-1) = O ecuatii ramase, date de cea de-a doua teorema a lui Kirchhoff:

unde:

Ordonand relatia (4.4.41) dupa curenti, se mai poate scrie:

unde:

este rezistenta proprie a ochiului p, respectiv suma aritmetica a rezistentelor laturilor care alcatuiesc ochiul p;

este rezistenta de cuplaj dintre ochiurile p si q, pozitiva daca si au acelasi sens prin laturile comune si negativa daca au sensuri contrare; in cazul in care ochiurile p si q nu au laturi comune, rezulta ca ;

este t.e.m. fictiva de ochi, egala cu suma algebrica a t.e.m. din laturile care alcatuiesc ochiul de circuit p; t.e.m. se iau cu (+) daca sensurile lor coincid cu sensul de parcurs pe ochi ( sens de referinta), respectiv - cu sensurile curentilor de ochiuri, si cu (-) in caz contrar.

Dezvoltat, sistemul de ecuatii se scrie sub forma:

Prin rezolvarea sistemului (4.4.43) se obtin curentii de ochiuri (). Utilizand transformarea liniara (4.4.39) se calculeaza apoi curentii de laturi ().

Etapele care trebuie parcurse la rezolvarea unei retele de c.c. prin aplicarea acestei metode sunt:

Determinarea ochiurilor fundamentale si alegerea arbitrara a sensurilor curentilor ciclici ale acestora, care reprezinta, de regula, si sensurile de referinta pe ochiuri.

Calculul rezistentelor proprii si de cuplaj ale ochiurilor, respectiv al t.e.m. de ochiuri.

Scrierea sistemului de ecuatii ale curentilor ciclici si determinarea acestora.

Alegerea arbitrara a sensurilor curentilor din laturi, daca acestea nu au fost date de la inceput.

Calculul curentilor din laturi cu relatia (4.4.39), sumarea fiind facuta pentru toti curentii ochiurilor q, carora le apartine latura k.

Verificarea rezultatelor obtinute (de exemplu cu teorema de bilant a puterilor).

Forma matriceala a metodei

Aceasta forma se utilizeaza pentru retele de dimensiuni mari.

Sub forma matriceala, sistemul de ecuatii (4.4.43) se poate scrie:

unde:

Matricea este de forma:

Matricea are forma:

Prin rezolvarea sistemului (4.4.44) se obtine:

unde este inversa matricii .

Matricea curentilor ciclici este un vector coloana de forma:

Curentii reali din laturile retelei se determina cu relatia:

Aplicarea metodei sub forma matriceala se face dupa urmatorul algoritm:

Se aleg sensurile curentilor ciclici din ochiurile fundamentale ale relatiei (de obicei aceleasi cu sensurile de parcurs pe ochiuri).

Se formeaza matricele - de apartenenta a laturilor la ochiuri ( matricea de conexiune a retelei) si - transpusa acesteia.

Se formeaza matricele si .

Se calculeaza matricele  si , cu relatiile (4.4.46) si (4.4.47).

Se calculeaza matricea inversa .

Se calculeaza matricea .

Se calculeaza matricea .

Se verifica rezultatele. In acest scop se poate utiliza, de pilda, teorema bilantului puterilor sub forma matriceala:

respectiv:

Aplicatie

Se da circuitul din fig. 4.4.18 pentru care se cunosc ; ; ; ; ; ;. Sa se determine curentii din laturi folosind metoda curentilor ciclici, sub forma matriceala.

Rezolvare:

Se aleg sensurile indicate pe figura pentru curentii ciclici .

Se formeaza matricea de conexiune si transpusa acesteia:

Se formeaza matricele si si se calculeaza matricele si .

Ca urmare, curentii ciclici pot fi calculati cu matricea:

Curentii din laturi sunt:

Verificare

Se vede ca se verifica relatia de bilant: