PROIECTARE LOGICA - Reprezentarea numerelor reale

PROIECTARE LOGICA

Reprezentarea numerelor reale

-contin o parte intreaga si o parte fractionala

Real=ąPI.PZ (I.F) Integer Fraction

Exemplu: - 2713.125 FIXED POINT Representation (=Virgula fixa)

Semn mantissa exponent

Reprezentarea cu semn,mantissa si exponentul numita reprezentarea in virgula mobila (floating Point Representation-e mai avantajoasa.

Reprezentarea in sistem binar a numerelor reale.

Reprezentarea in virgula mobila.

Fie x= -2713.125

Pas 1 Conversia binara

Partea intreaga

Partea fractionara

10 10 100 11 00 1

x= -0 0| 1010 1001 1001.001

Alg de conversie a pz

α_n-1 α_n-2 α₀ α_-1 α_-2 α_-K

pf=001

=>00|101010011001.001

schimbam y= -2713.126

*126=?binar

neconvergent

Nr de pasi ajunge la ∞ .

Reprezentarea in virgula flotanta in sistemele de calcul se bazeaza pe urmatoarele conventii:

1. nr de biti N=32 FLOAT Simple Precison FLSP

N=64 FLOAT Double Precision FLDP

N=124 FLOAT Extended Precision FLEP

BYTE3 24 32 BYTE2 b₁₅ BYTE1 b₈ b₇ BYTE0 b₀

Sgn 30

B₃₁=Sgn 0,pt +

1 pt -

b₂₃-b₃₀=EXP(8biti)

b₀ → b₂₂=MANTISSA NORMALIZATA (23 biti)

bitul 22 trebuie sa fie neaparat 1

x= -1010 1001 1001.001 - Fixed point

sgn=1(minus) 12₁₀ =00001100₂

exp=00001100

Imaginea memorie este:

1│0000|1100

8 6 5 4 C 9 0 0

b₀ b_-1 b_-2 b_-∞

23biti

Err max reprez FL POINT este1/2²³ sau gener. err max=1/2^m, unde m este nr de biti pe care se reprez mantissa.

Precizia dubla mantissa → se prelungeste pe inca un cuv de 32 biti =>n =55 (23+32)

Precizia extinsa → se acorda inca 64 biti

mantissa ocupa m=23+64+32=119 biti

Err max=1/2⁵⁵   E_max=1/2¹¹⁹

Err max=1/2²³~1/8*10⁶~0.125*10^-6 ppm=parti per milion=0.125 ppm

Conventii suplimetare de reprezentare.

exponentul -pozitiv

negativ

Se reprezinta in C₂

Exp in C₂

Exp I [-128,127]

Daca in urma unor operatii suma Exp= -128 (zecimal) ar fi nr cel mai mic posibil

0 e acel nr care are exp = -128 sau mai mic decat acesta

Exp cu offset de +128:

Reprezentarea 1│0000110010 10 |100 1100 1001 0 0

standard    Exp

8654C900₁₆

Reprezentarea 1│10001100│ 0 10 100 1100 1001 0 0

offset   Exp +128 C654C900₁₆

2⁷

Metoda de reprezentare cu bit ascuns(hidden bit) → primul bit de dupa exponent este obligatoriu 1, deci nu se mai scrie in calcule, se adauga.

Inseamna ca am capatat pe pozitia bitului cel mai semnificativ un bit in plus.

Operatii cu numere reale

Adunare intre 2 nr cu acelasi semn si acelasi exponent

x=0,5 exp=0

m=100

y=0,5 exp=0

m=1

x+y

In urma acestui proces, rezultatul trebuie renormalizat, se obtine depasire.

Procesul de normalizare necesita op de deplasare a mantisei catre dreapta cu o unitate, majorarea exponentului cu 1.

Suma 123.5+99.71

ac semn, nu au ac. exponent

Nr cu exponent mai mic trebuie deplasat catre dreapta cu atatea pozitii, cu cat arata diferenta exponentilor (aliniere sau axarea operanzilor).

S-ar putea sa fie necesara renormalizarea.

Pentru a efectua adunarea a 2 nr cu acelasi semn, op. necesare ar fi:

Pasul 1:Alinierea sau axarea celor 2 mantise, daca exponentii sunt diferiti.

In final, daca se obtine depasire , inseamna ca este necesara normalizarea rez.

x=123.5 si y=3.75 si 123.5+3.75 e necesara axarea.

Adunarea a 2 numere de semne contrare(scadere)

-operatiile generale in urma operatiunii de adunare scadere efectuate in sistem

→alinierea operanzilor

→C₂(cel cu - trebuie Complement fata de 2)

→normalizari(aducerea bitului 1 pe pozitia bitului cel mai semnificativ al mantisei)

Inmultire→suma exponentilor

val→inmultirea celor 2 mantise

2 variante: - 1. mantisa ramane normalizata → exponentul se pastreaza

- 2. mantisa trebuie renormalizata → exponentul se diminueaza

Impartire

x/y=x*1/y

ALGEBRA LOGICA(BINARA)

AL=

Operanzi:-constante logice: (T,F) (Y,N) (0,1)

-variabile(entitati notate cu litere sau grupuri de litere): a, ion, α, etc.

aI

Operatori logici:

-operatorul "unar" NEGATIE

not(1)=0   
1'=0 0'=1;1'=0;1''=1

-un nr impar de negatii complementeaza rezultatul

-un nr par de negatii intoarce acelasi rezultat

--->

1 0 Poarta logica inversoare

In    out

Obs --○►-- 0=negatie

--►--

Operatorul SI -AND

Simbol: ∙ , ∩ , Λ, conjunctie, produs logic

_x

Grafic =D- x nad y=x*y

^{y x*y}

Operatorul SI da rezultatului valoare logica 1(true), numai daca toti operanzii implicati au in acelasi moment valoarea 1(true).

and este un operator numit "minterm"

Rez and Rez or

Operatorul SI s.n. conjunctie ; produs logic →are un caracter de adevar minimal.

Operatorul SAU - OR disjunctie; suma logica.

Simbol α-num: + , U , V , or

Grafic

Operatorul or confera rezultatului valoarea 0, numai daca toate variabilele au in acel moment valoarea 0.

- or este numit "maxterm"

- and,or au actiune asupra a 2 sau mai multi biti

O expresie logica (functie logica) dependenta de mai multe variabile se poate defini prin tabela de adevar a acesteia, care se reduce la atasarea unei valori logice pt toate combinatiile posibile a variabilelor care o definesc → tabela de adevar a expresiei.

Orice functie logica exprimata prin tabela acesteia de adevar poate fi obtinuta prin utilizarea celor 3 operatori =>operatori logici fundamentali.

intre 0 si 31 ne trebuie 5 biti

Sa se scrie tabela de adevar a unei functii care are valoarea logica 1 atunci cand numarul se imparte exact la 3 sau la 5 sau care se impart si la 3 si la 5.

0

1 1 1 1 1 0

M(3&5)=X'₄* X'₃* X'₂* X'₁* X'₀ + X₄' * X₃* X₂* X₁* X₀ + X₄ *X₃ *X₂ *X₁*X₀'

Din exemplu rezultatul care se obtine s.n. expresie canonica de tip disjunctiv.

Operatori nefundamentali →1)not(and)    (operatul and legat)

nand

(a*b)'=not(a*b)

2)nor

(a+b)=not(or) =(or)'

3)sau exclusiv XOR (opereaza doar pe 2 variabile)

Axorb=suma modulo 2

Negatul lui XOR s.n. concidenta. a=b