ULTIMA CIFRA A UNUI NUMAR NATURAL

Fie x un numar natural oarecare si notam cu U(x) ultima sa cifra. Daca x = 294 atunci, U(294) = 4.

Ultima cifra a unui numar natural se determina cu ajutorul urmatoarelor reguli:

1. Ultima cifra a unei sume de numere naturale este egala cu ultima cifra a sumei ultimelor cifre a termenilor sumei:

U(x + y - z) = U[U(x) + U(y) - U(z)]

Ex:

Sa se determine ultima cifra a numerelor a = 917 + 7905 si b = 9102 + 388140 - 100509, fara a efectua sumele:

U(a) = U[U(917) + U(7905)] = U(7 + 5) = U(12) = 2.

U(b) = U[U(9102) + U(388140) - U(100509)] = U(2 + 0 - 9) = 3.

2. Ultima cifra a unui produs de numere naturale este egala cu ultima cifra a produsului ultimelor cifre a factorilor produsului:

U(x y) = U[U(x) U(y)]

Ex:

Sa se determine ultima cifra a produsului p = 914 137, fara a efectua produsul.

U(p) = U(914 137) = U[U(914) U(137)] = U(4 7) = U(28) = 8.

3. Ultima cifra a unei puteri este egala cu ultima cifra a puterii ultimei cifre a bazei:

U(xⁿ) = U U(x))ⁿ

Ex:

Sa se determine ultima cifra a numarului m = 712⁵.

U(m) = U(712⁵) = U (U(712))⁵ = U(2⁵) = U(32) = 2.

In continuare se va determina ultima cifra a puterilor lui p, unde p I

0ⁿ = 0, oricare ar fi n I N^*. Deci:

U() = U(0ⁿ) = 0, n I N^*

1ⁿ = 1, oricare ar fi n I N. Deci: U() = U(1ⁿ) = 1, n I N

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Din aceste tabele se observa ca:

a) Numerele naturale care au ultima cifra 0, 1, 5 sau 6 ridicate la orice putere n, n I N^*, au ultima cifra tot 0, 1, 5 respectiv 6:

U() = U(0ⁿ) = 0

U() = U(1ⁿ) = 1

U() = U(5ⁿ) = 5

U() = U(6ⁿ) = 6

impar. Daca si sunt numere naturale care au ultima cifra 4 si respectiv 9 iar n este un numar natural impar de forma n = 2k+1, k I N, atunci:

U() = U(^2k+1) = U(4^2k+1) = U(4 4^2k) = U[4 (4²)^k] = U[4 (16)^k] = U[4 U(16)^k] = U[4 U(6^k)] = U(4 6) = U(24) = 4.

U() = U(^2k+1) = U(9^2k+1) = U(9 9^2k) = U[9 (9²)^k] = U[9 (81)^k] = U[9 U(81)^k] = U[9 U(1^k)] = U(9

c)   Ultimele cifre a puterilor lui 2, 3, 7 si 8 se repeta din patru in patru, in functie de

resturile impartirii exponentului puterii la 4. Intr-adevar, daca , , si  sunt numere naturale care au ultima cifra 2, 3, 7 si respectiv 8 atunci:

U(^4k) = U(2^4k) = U[(2⁴)^k] = U(16^k) = U(6^k) = 6 adica, U(^4k) = U(2^4k) = U(2⁴) =

= U(16) = 6, k I N*.

U(^4k+1) = U(2^4k+1) = U[2 (2⁴)^k] = U[2 U(16)^k] = U[2 U(6^k)] = U(2 6) = U12) = 2 adica, U(^4k+1) = U(2^4k+1) = U(2¹) = 2, k I N*.

U(^4k+2) = U(2^4k+2) = U[2² (2⁴)^k] = U[4 U(16^k)] = U[4 U(6^k)] = U(4 6) = U(24) = 4 adica, U(^4k+2) = U(2^4k+2) = U(2²) = 4, k I N*.

U(^4k+3) = U(2^4k+3) = U[2³ (2⁴)^k] = U[8 U(16^k)] = U[8 U(6^k)] = U(8 6) = U(48) = 8 adica, U(^4k+3) = U(2^4k+3) = U(2³) = 8, k I N*.

Patrate perfecte. Puterea a doua a unui numar natural n se mai numeste patratul

numarului n si se noteaza n²

Daca numarul natural a este patratul unui numar natural n, adica a = n², atunci numarul a este un patrat perfect. Se va determina ultima cifra a unui patrat perfect tinand cont ca U() = U(x²), unde x I

Din acest tabel se poate trage urmatoarea concluzie:

Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi una dintre cifrele: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

Deci, U(n²) = p, unde p I . De aici rezulta un procedeu de a demonstra ca un numar natural nu este patrat perfect.

Daca ultima cifra a unui numar natural este 2, 3, 7 sau 8 atunci, numarul nu poate fi patrat perfect.

Daca U(m) = q si q I atunci, m nu este patrat perfect (adica el nu poate fi scris sub forma b = n²).

Exemple.

Sa se arate ca numarul A = 2001¹ + 2002² + . . .  +2009⁹ nu poate fi patrat perfect.

Vom calcula ultima cifra a numarului A. Mai intai se va calcula ultima cifra a termenilor sumei: U(2001¹) = U(1¹) = 1; U(2002²) = U(2²) = 4; U(2003³) = U(3³) = 7; U(2004⁴) = U(4⁴) = 6; U(2005⁵) = U(5⁵) = 5; U(2006⁶) = U(6⁶) = 6; U(2007⁷) = U(7⁷) = 3; U(2008⁸) = U(8⁸) = 6; U(2009⁹) = U(9⁹) = 9. Ultima cifra a numarului A = U(1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9) =

U(47) = 7. Daca ultima cifra a numarului A este 7 atunci, A nu poate fi un patrat perfect (deoarece un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 7).

Sa se arate ca numarul a = 999⁸⁸⁸ - 333⁴⁴⁴ este un numar divizibil cu 5.

Se calculeaza ultima cifra a numarului a. Vom calcula mai intai ultima cifra a fiecarui termen al sumei: U(999⁸⁸⁸) = U(9⁸⁸⁸) = 1 (deoarece exponentul este numar par) si U(333⁴⁴⁴) = U(3⁴⁴⁴) = U(3⁴ ) = 1. Deci U(a) = U(1 - 1) = 0 si atunci a  5 (deoarece are ultima cifra zero).

Sa se arate ca numerele m = 6ⁿ + 5ⁿ - 1 si n = 6ⁿ - 5ⁿ - 1 sunt numere divizibile cu 10 oricare ar fi numarul natural n

Se calculeaza ultima cifra a numerelor m si n tinand cont ca U(6ⁿ) = 6 si U(5ⁿ) = 5, oricare ar fi n 1. Deci U(m) = U(6ⁿ + 5ⁿ - 1) = U(6 + 5 - 1) = U(10) = 0 si U(n) = U(6ⁿ - 5ⁿ - 1) = U(6 - 5 - 1) = 0. Numerele m si n avand ultima cifra zero, numerele sunt divizibile cu 10.

In tabelul urmator se calculeaza ultima cifra a puterii a patra a unui numar natural.

Din acest tabel rezulta urmatoarele:

Numerele care au ultima cifra 1, 3, 7, 9 (cifrele impare cu exceptia lui 5), la puterea a patra au ultima cifra 1. Se poate scrie:

U() = U() = U() = U() = 1

Numerele care au ultima cifra 2, 4, 6, 8 (cifrele pare nenule), la puterea a patra au ultima cifra 6. Se poate scrie:

U() = U() = U() = U() = 6

Numerele naturale care au ultima cifra 0, 1, 5 sau 6, la puterea a patra au ultima cifra 0, 1, 5 respectiv 6 (potrivit celor aratate mai sus). Se poate scrie:

U() = 0; U() = 1; U() = 5; U() = 6.

Ex:

Un numar natural par ridicat la puterea a patra incepe si se termina cu aceeasi cifra. Care este aceasta cifra?

Din tabelul de mai sus se observa ca numerele naturale pare, ridicate la puterea a patra, au ultima cifra 0 sau 6. Dar un numar natural nu poate incepe cu cifra 0 si atunci singura cifra cu care poate sa inceapa si sa se termine puterea a patra a unui numar natural par este cifra 6.

Daca cifrele cu care se termina fiecare din numerele a⁴ⁿ, b⁴ⁿ, c⁴ⁿ, d⁴ⁿ sunt toate diferite intre ele (a, b, c, d, n I N*), sa se afle care este ultima cifra a numarului A = a⁴ⁿ + b⁴ⁿ + c⁴ⁿ + d⁴ⁿ.

Puterea a patra a fiecaruia dintre numerele a, b, c si d are ultima cifra 0, 1, 5 sau 6. Cum cifrele cu care se termina puterile a⁴ⁿ, b⁴ⁿ, c⁴ⁿ, d⁴ⁿ sunt toate diferite intre ele, atunci aceste cifre nu pot fi decat 0, 1, 5, 6 si atunci U(A) = U(0 + 1 + 5 + 6) = U(12 ) = 2.

Sa se arate ca daca n este un numar natural care nu este divizibil cu 5 atunci, numarul n⁴ + 2 nu este patrat perfect.

Daca n este un numar natural care nu este divizibil cu 5 atunci, ultima cifra a lui n nu poate fi 0 si nici 5. Rezulta atunci ca U(n⁴) nu poate fi decat 1 sau 6 si atunci U(n⁴ + 2) = U(1 + 2) = 3 sau U(n⁴ + 2) = U(6 + 2) = 8 ceea ce inseamna ca n⁴ + 2 nu poate fi patrat perfect (deoarece are ultima cifra 3 sau 8 iar un patrat perfect nu are ultima cifra nici 3 si nici 8).

Sa se determine cu ce cifra se poate termina numarul 7 n⁴ - 16, n > 1, n I N.

Se analizeaza ultima cifra a numarului n.

Daca U(n) = 0 atunci, U(n⁴) = 0 si atunci U(7 n⁴ - 16) = U(7 0 - 16) = U(0 - 16) = 4;

Daca U(n) este 1, 3, 7 sau 9 atunci, U(n⁴) = 1 si atunci U(7 n⁴ - 16) = U(7 1 - 16) = U(7 - 16) = 1;

Daca U(n) este 2, 4, 6 sau 8 atunci, U(n⁴) = 6 si atunci U(7 n⁴ - 16) = U(7 6 - 16) = U(42 - 16) = 6;

Daca U(n) = 5 atunci, U(n⁴) = 5 si atunci U(7 n⁴ - 16) = U(7 5 - 16) = U(35 - 16) = 9.

In concluzie, numarul 7 n⁴ - 16, n > 1, n I N,  se poate termina cu una dintre cifrele: 4, 1, 6, 9.