QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Teorema Hille – Yosida








Teorema Hille – Yosida

Am vazut ca generatorul infinetezimal al unui - semigrup este un operator inchis si dens infinit.

Problema. Dat un operator inchis si dens definit, genereaza acesta un

- semigrup?


In general , raspunsul este negativ. Totusi in anumite conditii suplimentare problema de mai sus are o solutie. Scopul acesui paragraf este de a stabili o conditie necesara si suficienta pentru ca un operator dens definit si inchis sa fie generatorul unui




- semigrup.


Teorema I.4.1. Fie S = un - semigrup pe spatiul Banach X, iar A generatorul sau infinetezimal. Atunci exista M si astfel incat


, .


Demonstratie. Fie M dati din Teorema I.1.1. Atunci si din Teorema I.3.2. rezulta ca pentru orice avem


Ca o consecinta a identitatii rezolvantei se obtine imediat ca


,

deci


=(-1) .                                (1.11)


Din reprezentarea pentru aplicatia rezolventa data din Teorema I.3.2 observam ca


dt (1.12)

si inductiv rezulta


dt


Din relatiile (1.11) si (1.12) deducem ca


n! dt =

=M dt (1.13)


Integrand prin parti, obtinem ca


dt = .


De aici si din relatia (1.13), rezulta ca


    .


Corolarul I.4.1. Fie S= un C-semigrup pe spatiul Banach X,iar generatorul sau infinitezimal. Atunci exista Msi astfel incat


(i)      pentru orice cu Re, avem

(ii)            pentru orice cu Re, avem


, .


Demonstratie. (i) Rezulta din Corolarul I.3.1.

(ii) Se obtine din (i) si din Teorema I.4.1.



Teorema I.4.2.(Hille Yosida) Fie A:D(A)un operator liniar inchis si dens. Daca exista M si astfel incat


(i)    () (A);

(ii)  , pentru orice si orice n

atunci exista un C-semigrup S= al carui generator infinitezimal este A si cu proprietatea ca


,


Demonstratie. Vom face demonstratia in patru etape.

ETAPA 1. Aratam ca pentru orice xexista R(,A)x=x.

Fie x D(A). Din


R()()x = x

rezulta ca


()x = x +R()Ax ,     (A).


Din (ii) deducem ca


.


De aici rezulta ca


R(,A)x=x ,    .


Cum


,   


deducem ca exista K > 0 astfel incat


         


Fie xsi Din faptul ca operatorul A este dens definit rezulta ca exista y D(A) astfel incat < . Atunci din (1.15) avem

.


Astfel conform (1.14) si datorita faptului ca a fost arbitrar, obtinem


, (1.16)


ETAPA 2. Pentru definim A= R(,A) Atunci A B(X).

Fie x D(A). Rezulta ca


deci


Ax= .

Din relatia (1.16) deducem ca


, D(A). (1.17)




ETAPA 3. Fie . Pentru fiecare t, definim S.

Rezulta ca


S= e ,          


Atunci , obtinem ca


,


Fie r > 1 . Daca , adica , atunci


, . (1.18)


Fie x D(A). Deducem succesiv ca


S


= t(Axds=


=t ,


Din (1.18) si (1.19) deducem ca

, . (1.20)


Din (1.17) si (1.20) rezulta ca pentru orice exista .

In plus, aceasta limita este uniforma in raport cu t pe orice compact

[0,a] cu a > 0 . Din densitatea lui D(A) in X , tinand seama de relatia

(1.18), se obtine ca pentru orice x , exista si limita este

uniforma in raport cu t pe [0, a], pentru orice a> 0.


Astfel, pentru fiecare t , are sens sa definim


S(t):= , .


ETAPA 4. Aratam ca S= este un C- semigrup, iar A este generatorul sau infinitezimal.


Din relatia (1.18) rezulta ca


      (1.21)

deci S(t) B(X), pentru orice t . In plus, observam ca


S(0)x = , pentru orice x, respectiv ca


           

si

, .

Obtinem de aici ca S= este un C- semigrup.


Aratam ca A este generatorul sau infinitezimal.


Fie B : D(B) generatorul sau infinitezimal . Fie x D(A) , t > 0 , si r > 1.


Avem ca




, pentru


uniform pe [0,t] . Deci , uniform pe [0,t ] , pentru orice

t > 0, si orice x D(A).


Deoarece


ds ,

deducem ca



S(t)x ds =


= ds ,       

si de aici avem


ds = Ax , D(A).


Rezulta ca D(A) D(B) si Bx = Ax , pentru orice x D(A).


Reciproc , din relatia (1.21) rezulta ca daca , atunci .


Deducem de aici ca


deci


(I-B)D(A) = X.

Aplicand  acestei relatii pe rezulta ca D(A) = D(B) si astfel A = B , care incheie demonstratia .


In final , deducem teorema de caracterizare a generatorului unui C- semigrup.


Corolarul I.4.2. (Hille – Yosida ) Fie A : D(A) un operator

liniar inchis si dens definit . A este generatorul unui C- semigrup S = daca si numai daca exista M 1 si 0 astfel incat


(i) ( , ) (A);

(ii) , pentru orice Re> si orice n .


In plus , in conditiile de mai sus avem


, .


Demonstratie. Rezulta imediat din Corolarul I.4.1. si din Teorema I.4.2.




loading...



Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }