Teorema Hille - Yosida

Teorema Hille - Yosida

Am vazut ca generatorul infinetezimal al unui - semigrup este un operator inchis si dens infinit.

Problema. Dat un operator inchis si dens definit, genereaza acesta un

- semigrup?

In general , raspunsul este negativ. Totusi in anumite conditii suplimentare problema de mai sus are o solutie. Scopul acesui paragraf este de a stabili o conditie necesara si suficienta pentru ca un operator dens definit si inchis sa fie generatorul unui

- semigrup.

Teorema I.4.1. Fie S = un - semigrup pe spatiul Banach X, iar A generatorul sau infinetezimal. Atunci exista M si astfel incat

, .

Demonstratie. Fie M dati din Teorema I.1.1. Atunci si din Teorema I.3.2. rezulta ca pentru orice avem

Ca o consecinta a identitatii rezolvantei se obtine imediat ca

,

deci

=(-1) .    (1.11)

Din reprezentarea pentru aplicatia rezolventa data din Teorema I.3.2 observam ca

dt (1.12)

si inductiv rezulta

dt

Din relatiile (1.11) si (1.12) deducem ca

n! dt =

=M dt (1.13)

Integrand prin parti, obtinem ca

dt = .

De aici si din relatia (1.13), rezulta ca

    .

Corolarul I.4.1. Fie S= un C-semigrup pe spatiul Banach X,iar generatorul sau infinitezimal. Atunci exista Msi astfel incat

(i)      pentru orice cu Re, avem

(ii)    pentru orice cu Re, avem

, .

Demonstratie. (i) Rezulta din Corolarul I.3.1.

(ii) Se obtine din (i) si din Teorema I.4.1.

Teorema I.4.2.(Hille Yosida) Fie A:D(A)un operator liniar inchis si dens. Daca exista M si astfel incat

(i)    () (A);

(ii)  , pentru orice si orice n

atunci exista un C-semigrup S= al carui generator infinitezimal este A si cu proprietatea ca

,

Demonstratie. Vom face demonstratia in patru etape.

ETAPA 1. Aratam ca pentru orice xexista R(,A)x=x.

Fie x D(A). Din

R()()x = x

rezulta ca

()x = x +R()Ax ,     (A).

Din (ii) deducem ca

.

De aici rezulta ca

R(,A)x=x ,    .

Cum

,   

deducem ca exista K > 0 astfel incat

 

Fie xsi Din faptul ca operatorul A este dens definit rezulta ca exista y D(A) astfel incat < . Atunci din (1.15) avem

.

Astfel conform (1.14) si datorita faptului ca a fost arbitrar, obtinem

, (1.16)

ETAPA 2. Pentru definim A= R(,A) Atunci A B(X).

Fie x D(A). Rezulta ca

deci

Ax= .

Din relatia (1.16) deducem ca

, D(A). (1.17)

ETAPA 3. Fie . Pentru fiecare t, definim S.

Rezulta ca

S= e ,  

Atunci , obtinem ca

,

Fie r > 1 . Daca , adica , atunci

, . (1.18)

Fie x D(A). Deducem succesiv ca

S

= t(Axds=

=t ,

Din (1.18) si (1.19) deducem ca

, . (1.20)

Din (1.17) si (1.20) rezulta ca pentru orice exista .

In plus, aceasta limita este uniforma in raport cu t pe orice compact

[0,a] cu a > 0 . Din densitatea lui D(A) in X , tinand seama de relatia

(1.18), se obtine ca pentru orice x , exista si limita este

uniforma in raport cu t pe [0, a], pentru orice a> 0.

Astfel, pentru fiecare t , are sens sa definim

S(t):= , .

ETAPA 4. Aratam ca S= este un C- semigrup, iar A este generatorul sau infinitezimal.

Din relatia (1.18) rezulta ca

  (1.21)

deci S(t) B(X), pentru orice t . In plus, observam ca

S(0)x = , pentru orice x, respectiv ca

   

si

, .

Obtinem de aici ca S= este un C- semigrup.

Aratam ca A este generatorul sau infinitezimal.

Fie B : D(B) generatorul sau infinitezimal . Fie x D(A) , t > 0 , si r > 1.

Avem ca

, pentru

uniform pe [0,t] . Deci , uniform pe [0,t ] , pentru orice

t > 0, si orice x D(A).

Deoarece

ds ,

deducem ca

S(t)x ds =

= ds ,   

si de aici avem

ds = Ax , D(A).

Rezulta ca D(A) D(B) si Bx = Ax , pentru orice x D(A).

Reciproc , din relatia (1.21) rezulta ca daca , atunci .

Deducem de aici ca

deci

(I-B)D(A) = X.

Aplicand  acestei relatii pe rezulta ca D(A) = D(B) si astfel A = B , care incheie demonstratia .

In final , deducem teorema de caracterizare a generatorului unui C- semigrup.

Corolarul I.4.2. (Hille - Yosida ) Fie A : D(A) un operator

liniar inchis si dens definit . A este generatorul unui C- semigrup S = daca si numai daca exista M 1 si 0 astfel incat

(i) ( , ) (A);

(ii) , pentru orice Re> si orice n .

In plus , in conditiile de mai sus avem

, .

Demonstratie. Rezulta imediat din Corolarul I.4.1. si din Teorema I.4.2.