Formulele Gauss

Formulele Gauss

Formulele de integrare numerica de tip Gauss se folosesc in special pentru aproximarea integralelor improprii. Forma generala a acestor formule este:

unde I este un interval real, finit sau infinit, :I este o funcție pozitiva și continua, astfel incat exista pentru orice n Numerele w,x , se determina astfel incat formula (75) sa fie exacta pentru polinoame de grad mai mic sau egal cu 2n-1. Pentru deducerea acestor formule se folosesc polinoamele ortogonale.

Voi prezenta in continuare metoda generala pentru obținerea acestor formule și apoi cateva formule particulare.

Fie f:I f(I), pentru care exista integrala  , și un șir de polinoame definite pe intervalul real I, ortogonale in raport cu ponderea

Consideram in I punctele distincte x Formula de interpolare a lui Lagrange pentru funcția f pe aceste noduri este: f(x)=p(x)+r(x),

unde:

p(x)= g(x)=,

r(x)=

Vom avea:

Rezulta:

unde:

w=,

R(f)=

Vom determina nodurile x,x,,x astfel incat R(f)=0 pentru f polinom de grad cel mult 2n-1. In acest caz este polinom de grad cel mult n-1, iar este polinom de grad n. Cum determina o baza in spațiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult m, rezulta:

a.i.

( b, a.i.

Obținem:

R(f)=

pentru ca daca

Pentru rezulta R(f)=0. In acest caz:

Deci, sunt radacinile polinomului , iar, unde este coeficientul dominant al aceluiaș polinom.

Fie acum polinomul de interpolare Hermite de grad cel mult 2n-1 cu proprietațile:

Deci:

f=p+r, unde : r(x)=

Avem:

R(f)=

Cum formula (75) este exacta pentru p, rezulta:

Deci:

R(f)=

Aplicand o teorema de medie pentru ultima integrala, rezulta existența unui punct c astfel incat:

R(f)=

unde: d

Deci, forma generala a formulelor de tip Gauss este:

unde:

R(f)=

In aceste formule sunt radacinile polinomului dintr-un șir de polinoame ( , ortogonale in I in raport cu iar este coeficientul dominant din expresia polinomului

In formulele (80), pentru calculul numerelor intervin din nou integrale pe intervalul I. Pentru calculul acestor numere vom deduce formule mai simple, in care intervin valorile polinoamelor și in x. Pentru aceasta vom utiliza formula Cristoffel-Darboux :

(x-y)

Pentru y=x, unde este o radacina a polinomului , vom avea:

Rezulta:

Dar:

pentru

, (

Revenind in (82) obținem:

de unde :

w=

In continuare vom deduce patru formule de tip Gauss, corespunzatoare polinoamelor ortogonale

1. Formula Gauss-Legendre.

Polinoamele lui Legendre:

sunt definite pe I=(-1,1) și sunt ortogonale in raport cu ponderea Pentru aceste polinoame avem:

Formula Gauss-Legendre, dedusa din (79)-(80)-(81), este:

unde:

R(f)= c

w

sau, dupa (83):

w=

In aceste formule sunt radacinile polinomului p

Comentarii. 1 Utilizand formula de recurența:

(1-),

și formula (87) obținem:

w=

Pentru o integrala de forma se efectueaza schimbarea de variabila:

t=

Rezulta:

Pentru ultima integrala se aplica formula (84) cu:

f(x)=F(

Exemplu. Fie I=

Avem:

Pentru n=4 avem:

x

x

Rezulta:   

2. Formula Gauss-Cebișev.

Polinoamele lui Cebișev:

= cos(n* arccos x), n,

sunt definite pe intervalul I=(-1,1) și ortogonale in raport cu ponderea :

In acest caz avem: d pentru și d

Radacinile polinomului sunt ,

Avem:

Utilizand formula (83) obținem:

w=, (n

Formula Gauss-Cebișev este:

unde:

x=cos

R(f)= , c

Pentru integrale de forma se efectueaza schimbarea de variabila t=

Rezulta:

Pentru a doua integrala din aceasta egalitate se aplica formula (90) cu f(x)=

Exemplu. Fie I=

Aplicam formula (90) cu f(x)= și n=6. Avem:

Ultima egalitate are loc pentru ca:

Se obține: I

3 Formula Gauss-Laguerre.

Polinoamele lui Laguerre:

sunt definite pe intervalul I=(0, și ortogonale in raport cu ponderea Pentru aceste polinoame avem:

d , unde

Formula Gauss-Laguerre este:

unde:

w=

R(f)= c

Folosind formula (83) obținem:

w=-

In aceste formule sunt radacinile polinomului

Comentarii. 1. Utilizand formula:

X( ,

obținem:

w=

Daca in plus, folosim și formula de recurența:

(n+1)

Atunci (97) devine:

(98)

Pentru deoarece se obține formula:

unde:

,

R(f)= c

(Am notat cu polinomul pentru .

Pentru integrale de forma se folosește formula (93) cu f(x)= , sau formula (99) cu f(x)=

Exemplu. Pentru integrala vom aplica formula (99) cu f(x)= și n=4.

In acest caz avem:

x

4,536620  0,038888

9,395071 0,000539

Rezulta:

4. Formula Gauss-Hermite.

Polinoamele lui Hermite:

,

definite pe R, sunt ortogonale in raport cu ponderea .

In acest caz: ,

Formula Gauss-Hermite este:

R(f)=, c

sau :

In aceste formule sunt radacinile polinomului

Comentarii. 1 Folosind formula de recurența:

din (105) rezulta:

Daca se adauga și formula de recurența:

Atunci (106) devine:

Pentru integrale de forma se folosește formula (102) cu f(x)=

Exemplu. Pentru in (102) vom lua f(x)=cosx.

Pentru n=5 avem:

x

Se obține:

Valoarea exacta a integralei este