Ecuatii cu nucleu compact

Ecuatii cu nucleu compact

Vom studia ecuatia de forma :

x ─ λU(x) =y (*

unde U este un operator liniar continuu, care aplica spatiul Banach X in el insusi. O astfel de ecuatie va fi numita ecuatie de speta a doua, iar operatorul U - nucleul ecuatiei. Aceasta terminologie este imprumutata din teoria ecuatiilor integrale, unde se numeste ecuatie de speta a doua ecuatia

spre deosebire de ecuatia de speta intai :

Desi formal, ecuatia functionala (*) poate fi scrisa si sub forma unei ecuatii "de speta intai"

T (x) = y (T=I-λU),

totusi separarea operatorului identitate se dovedeste a fi indicata, intrucat operatorul U poate avea proprietatile mai bune decat operatorul T, care sa permita sa se studieze mai complet ecuatia (*)

Consideram :

x ─ U(x) =y (x, y є X) 

si adjuncta ei

g ─ U*(g f (f, g є X*)

presupunand ca U (prin urmare si U*) sunt operatori compacti in spatiul Banach X. Notam T = I ─ U, unde, prin I s-a notat operatorul identitate in spatiul X. Cu aceasta notatie ecuatia (1) poate fi scrisa mai scurt :

T(x = y

Iar ecuatia (2) :

T*(g f

Intrucat T* = I* ─ U* si I*este operatorul identitate in X*.

I.1 Proprietati ale operatorului T

Vom demonstra in prealabil trei leme.

Lema I.1.1 Multimea T (X) este inchisa.

Demonstratie Sa notam

si sa consideram spatiul cat

si operatorulcare aplica in .Vom nota prin φ omomorfismul natural al spatiului X pe . Fie T(X) un sir convergent catre un element X. Deoarece exista elementele astfel ca Din definitia normei in spatiul cat exista astfel incat

Vom demonstra ca sirul este marginit. In caz contrar, trecand, daca este necesar, la un subsir, putem presupune ca In virtutea relatiei (3),sirul este marginit, de aceea, trecand inca o data la

un subsir, putem considera ca converge. Fie, de exemplu, Avand in vedere ca T(xn) = T (xn) =y putem scrie

si prin urmare,

deci z є Xo. Dar atunci

ceea ce este imposibil, intrucat = 1 pentru orice n=1,2, . .

Astfel, sirul si conform relatiei (3), si sirul este marginit. Putem ,de aceea considera ca este un sir convergent. Daca, de exemplu, U ()x atunci

Deci obtinem

ceea ce trebuia demonstrat.

Lema I.1.2. Sirul de multimi

este crescator si contine doar un numar finit de multimi distincte.

Demonstratie. Prima parte a afirmatiei lemei este aproape evidenta, deoarece, daca atunci si cu atat mai mult adica

x

Pentru demonstrarea celei de-a doua parti, vom nota si vom stabili ca, daca, pentru un n=1,2, . ,Xn = Xn atunci si

Sa alegem . Aceasta inseamna ca

si, prin urmare,T(x)X=X.Dar atunci TT, adica x є Xn+1. Astfel Deoarece incluziunea opusa are loc intotdeauna, avem, in definitiv, ca

Sa presupunem acum ca pentru fiecare n = 1,2, .

Fiecare Xn este subspatiu al spatiului Xn de aceea, conform lemei cvasiperpendiculare, in Xn poate fi ales un element normat astfel ca

Fie m n. Sa consideram elementul

unde am notat Vom demonstra ca m . In acest scop,

Deoarece

Tinand seama de inegalitatea (4), avem

Pe de alta parte este un sir marginit, deci datorita compacitatii operatorului U din sirul se poate extrage un subsir convergent, ceea ce contrazice (5)

Lema I.1.3. Printre multimile

exista doar un numar finit de multimi distincte.

Demonstratia este asemanatoare in linii generale cu demonstratia lemei precedente si ca urmare o vom da fara a intra in amanunte.

Sa observam ca multimile (6) sunt inchise conform lemei I.1.1 si in afara de aceasta, formeaza un sir descrescator. Este clar ca din egalitatea

pentru un n, rezulta ca

Si lema este, in acest caz, demonstrata.

Admitand ca vom construi cu ajutorul lemei cvasiperpendiculare un sir astfel incat

(7)

Fie m n. Ca si in lema I.1.2, avem

Dar

Si astfel

. Din (7) rezulta atunci

care contrazice compacitatea operatorului U

I.2. Teorema de caracterizare a operatorului T

Sa notam r cel mai mic dintre numerele intregi nenegative n pentru care

. Daca, in particular, , punem r = 0

Fie apoi

.

Urmatoarea teorema contine o caracterizare a operatorului T si prin urmare, a ecuatiei (1).

Teorema I.2.1.

a) Operatorul T aplica injectiv subspatiul X' pe el insusi.

b) Subspatiul este finit dimensional. Operatorul T aplica in el insusi.

c)Fiecare element x є X poate fi reprezentat in mod unic sub forma

pe langa aceasta, exista o constanta M 0 astfel incat

d) Operatorul U admite reprezentarea

unde sunt operatori compacti, care aplica spatiul X in X' operatorul ) si in (operatorul ). In plus operatorul are invers bilateral continuu si este valabila relatia

Demonstratie. a) Deoarece

Daca T(x)=0, unde atunci, alegand conform lemei I.1.2 astfel ca , vom avea si prin urmare exista astfel ca Dar atunci si de aceea de unde avem

b)Avem

unde operatorul U este o combinatie liniara de puteri pozitive ale   operatorului U.

Astfel operatorul U este compact. Deoarece pentru rezulta ca orice multime marginita din este relativ compacta. este finit-dimensional.

Multimea in cazul este evident Daca si incluziunea este triviala.

c) Sa notam operatorul T considerat doar pe multimea . Pe baza lemei I.1.1 aplicata operatorului tragem concluzia ca multimea este inchisa si prin urmare este spatiul Banach.De aici operatorul T care aplica injectiv X' pe el insusi are invers continuu

Fie x un element arbitrar din X, sa punem

(12)

Este clar ca x' є X' si deoarece

─ ─

ceea ce demonstreaza posibilitatea reprezentarii lui x sub forma (8). Daca este o alta reprezentare a elementului x in forma (8) deci astfel incat atunci

+

Dar deoarece si de aceea

Si unicitatea reprezentarii (8) este demonstrata.

Existenta estimarilor (9)rezulta pe baza relatiilor (12) din continuitatea operatorului

d) Avand in vedere ca U=I ─ T avem pentru

deci operatorul U aplica in el insusi. Analog ne convingem ca

Sa punem pentru arbitrar

(13)

Unde si sunt cei din reprezentarea elementului x in forma (8). Tinand seama de estimarile (9) ne convingem fara dificultate ca si sunt operatori liniari continui. In afara de aceasta este clar ca si , Mai departe este evident ca

Din aceste relatii rezulta ca

Operatorul aplica spatiul X in spatiul finit-dimensional in care fiecare multime marginita este relativ compacta. De aceea U este operator compact. Din U=U-Use poate trage concluzia ca operatorul U este compact.

Sa demonstram , in sfarsit, ca operatorul are invers bilateral continuu. Pentru aceasta este suficient sa stabilim in primul rand ca implica x = 0 si in al doilea rand ca . Fie Reprezentand x sub forma (8) obtinem ca

Deoarece vom avea ca urmare a unicitatii reprezentarii elementului 0 sub forma (8),

si pe baza punctului a), . De aici

Sa consideram acum un element arbitrar . Sa-l reprezentam sub forma

si sa punem

Deoarece

Si

Asadar

Teorema este in intregime demonstrata.

Observatie. Fie m cel mai mic dintre numerele intregi nenegative n astfel ca . Atunci m = r.

In acest scop luand si reprezentandu-l sub forma (8) obtinem

ceea ce este posibil in virtutea punctului a) doar pentru De aici si prin urmare .

Mai departe , daca , atunci punand x in forma (8) vom avea

si prin urmare de asemenea .

Teorema urmatoare este consecinta unui caz particular al acestei observatii.

Teorema I.2.2. Pentru ca ecuatia (1) sa aiba solutie pentru orice y є X este necesar si suficient ca ecuatia omogena

   (15)

sa aiba solutie unica (evident x

Intr-adevar rezolubilitatea ecuatiei (1) pentru orice y є X inseamna ca astfel spus ca r = 0. Unicitatea solutiei ecuatiei (15) este echivalenta cu faptul ca m = 0.

I.3.Legatura ecuatiei cu adjuncta ei

In teorema urmatoare se stabileste o legatura intre ecuatiile (1) si (2).

Teorema I.3.1 Multimile N(T) si N(T) au aceeasi dimensiune finita.

Demonstratie. Deoarece si pe baza punctului b)al teoremei I.2.1, este finit - dimensional, rezulta ca N(T) va fi finit - dimensional. Intrucat U este tot operator compact, cele spuse sunt aplicabile si multimii N(T)

Fie n dimensiunea lui N(T) si m dimensiunea lui N(T). Fie un sistem de elemente liniar independente din N(T) si elementele liniar independente din N(T)

Intrucat elementele sunt liniar independente exista un sistem biortogonal de functionale

Analog exista elementele astfel ca

Sa presupunem ca . Sa consideram in spatiul X operatorul V=U+W unde

Deoarece operatorul liniar W aplica X intr-un spatiu finit - dimensional el este compact. Inseamna ca si V este operator compact. Sa consideram ecuatia

Fie o solutie a sa :

Din aceasta egalitate rezulta ca

adica tinand seama de relatiile (17)

si prin urmare a faptului ca vom avea

Impreuna cu (19) aceasta da , adica si deci poate fi reprezentat sub forma

Deoarece in virtutea relatiilor (16) din (21) rezulta ca si de aceea si . Astfel ecuatia (18)are solutie unica. Conform teoremei I.2.2 ecuatia neomogena corespunzatoare este rezolubila pentru orice membru drept. In particular ecuatia

are solutie. Sa notam solutia acestei ecuatii. Pe de o parte ,

Insa pe de alta parte

Astfel trebuie ca

Posibilitatea inegalitatii se exclude prin rationamente analoage. Anume, in locul ecuatiei (18) trebuie considerata in spatiul ecuatia

I.4.Alternativa Fredholm

Reunind teoremele demonstrate mai sus, obtinem urmatorul rezultat.

Teorema I.4.1. Fie ecuatiile (1) si (2) au solutii pentru orice membru drept si atunci solutiile lor sunt unice; fie ecuatiile omogene

au acelasi numar finit de solutii liniar independente respectiv . In acest ultim caz pentru ca ecuatia (1) (respectiv ecuatia (2)sa aiba solutie , este necesar si suficient ca

iar solutia generala a ecuatiei (1) are forma :

iar solutia generala a ecuatiei (2):

unde este o solutie oarecare a ecuatiei(1) (respectiv2) iar sunt constatate arbitrare.

Avand in vedere analogia cu teorema cunoscuta din teoria ecuatiilor integrale , teorema de fata se numeste alternativa lui Fredholm