Consideram urmatorul sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn
Acest sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute este compatibil determinat, iar solutia sa este data de formulele lui Cramer, daca determinantul sau (d) este nenul.
Conform Regulii lui Cramer, solutiile sunt de forma:
. . . . . . . . . . . ,
unde d = det A este determinantul sistemului,
fiind matricea sistemului,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
si dj, 1≤j≤n, determinantul care se obtine din d prin inlocuirea coloanei j prin coloana
:
De exemplu:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s.a.m.d.
Un sistem de ecuatii care nu are solutii se numeste incompatibil. Un sistem de ecuatii liniare este incompatibil daca determinantul sau este nul si unul din determinantii dj, 1≤j≤n, este nenul (atunci toti determinantii dj, 1≤j≤n, sunt nenuli).
Un sistem de ecuatii care are mai mult de o solutie se numeste compatibil nedeterminat. Un sistem de ecuatii liniare este compatibil determinat daca determinantul sau este nul si unul din determinantii dj, 1≤j≤n, este nul (deoarece atunci toti determinantii dj, 1≤j≤n, sunt nuli).
Calculul determinantilor
Sa consideram o matrice patratica de ordinul n.
Vom forma toate produsele posibile de n elemente apartinand la linii si coloane distincte. Un astfel de produs este de forma:
a1i1 a2i2 . . . . . . . . anin
unde i1, i2, . . . in sunt elementele distincte ale multimii {1, 2, . . . n}. Inseamna ca putem considera permutarea de gradul n
si putem scrie:
a1i1 a2i2 . . . . . . . . anin = a1σ(1) a2σ(2) . . . . . . . . anσ(n)
Numarul total al produselor de aceasta forma este egal cu numarul tuturor permutarilor de grad n, deci n!.
Semnul acestor produse depinde de signatura permutarii, astfel incat daca permutarea este para, semnul produsului este +, iar daca este impara, semnul produsului este -.
