Variante discrete ale criteriilor integrale

Variante discrete ale criteriilor integrale

In cazul sistemelor automate discrete, ecuatiile de functionare se prezinta sub forma discreta si ca urmare pentru criteriile integrale de optimizare dinamica se folosesc de asemenea variante discrete. In prezentul subcapitol este prezentata succint forma discreta a ecuatiilor de stare (paragraful 5.5.1) si sunt ilustrate variantele discrete ale criteriilor integrale - folosite practic numai in limbajul intrare-stare-iesire - si ale solutiilor optime (paragraful 5.5.2).

1. Forma discreta a ecuatiilor de stare

In locul ecuatiei de stare

(1)

corespunzatoare sistemelor liniare si continue, cu parametri constanti, la sistemele discrete - unde are loc esantionarea marimilor x si u cu o perioada constanta T - se foloseste forma

(2)

unde reprezinta valoarea starii x la momentul de esantionare

- valoarea starii x la momentul anterior de

esantionare

- matrice legate de matricele A si B din

(1) prin relatiile [3]

(3)
(4) fiind matricea de tranzitie [13]

(5)

Pentru t = T, din (5) si (3) se obtine

(6)

Daca perioada de esantionare T satisface conditia

(7)

so este om acelasi timp mult mai mica decat constantele de timp din cadrul sistemului automat, atunci este permisa aproximarea expresiei (6) prin primii doi termeni, rezultand

(8)

Inlocuind (8) in (4) se obtine

(9)

Introducand (8) si (9) in (2) se obtine

respectiv

(10)

deci rezulta o expresie analoaga cu (1) , raportul diferentelor finite

(11)

aproximand derivata din (1) .

2. Exemple de variante discrete ale criteriilor integrale

In locul expresiei (2.7) a criteriului integral fara timp final impus, din cazul sistemelor continue, la sistemele discrete se foloseste varianta discreta

unde matricele de ponderare si sunt legate de matricele Q si R din (2.7) prin relatiile

(13) (14)

perioada de esantionare T jucand astfel rolul elementului dt din (2.7) si suma din (12) aproximand integrala din (2.7).

In cazul folosirii criteriului (12) se obtine o solutie optima a comenzii de forma [18, 3]

(15)

- corespunzatoare expresiei (4.14) de la sistemele continue - unde matricea a regulatorului discret functie de stare are expresia [18, 3]:

(16)

in care sunt matricele din ecuatia de stare (2) ;

- matricea de ponderare din (2)

- solutia ecuatiei algebrice neliniare

(17)

fiind matricea de ponderare din (12).

Intrucat insumarea din (12) se efectueaza fara timp final impus, rezolvarea prin metode iterative a ecuatiei (17) conduce la o matrice cu parametri constanti.

Daca se impune un anumit timp final - ca in cazul criteriilor (2.8) si (2.9) de la sistemele continue - atunci insumarea din (12) nu se mai efectueaza pana la infinit, ci pana la o valoare stabilita

(18)

rezultand un criteriu de forma

(19)

corespunzatoare formei continue (2.8); prin minimizarea expresiei se obtine nu numai o calitate dorita a regimului tranzitoriu, ci si o abatere cat mai mica de la o anumita stare dorita la intrarea in noul regim stationar, datorita la intrarea in noul regim stationar, datorita termenului al doilea din membrul drept al relatiei (19), in care intervine matricea de pondere , corespunzatoare matricei S din (2.8).

Pe aceeasi cale poate fi stabilita forma discreta corespunzatoare expresiei criteriului (2.9) de la sistemele continue