Planul - reprezentarea planului, determinarea urmelor, drepte si puncte continute in plan

PLANUL - repreZENTAREA pLaNulUI, DETERMINAREA URMELOR, DREPTE SI PUNCTE CONTINUTE IN PLAN

1. repreZENTAREA pLaNulUI

Planul este definit de (fig. 1) :

doua drepte concurente sau paralele;

o dreapta si un punct;

trei puncte necoliniare.

Fig. 1

Doua puncte ce apartin unui plan definesc o dreapta ce apartine planului. Doua drepte concurente ce apartin unui plan, definesc planul care le contine.

In caz particular, aceste drepte pot fi dreptele de intersectie ale planului considerat, cu planele de proiectie. Aceste drepte poarta denumirea, in geometria descriptiva, de urmele planului.

2. Urmele planului (fig. 2)

Fig. 2

Se numesc urmele planului, dreptele de intersectie dintre un plan oarecare [P] si planele de proiectie.

Planul oarecare [P] se intersecteaza cu planul de proiectie orizontal [H], dupa urma orizontala care se noteaza cu P_h, cu planul vertical de proiectie [V], dupa urma verticala notata cu P_v, iar cu planul lateral de proiectie [W], dupa urma laterala P_W.

Urmele planului se intersecteaza doua cate doua pe axe astfel:

(P_h) ∩ (P_v) ≡ P_x OX

(P_h) ∩ (P_w) ≡ P_y OY

(P_v) ∩ (P_w) ≡ P_z OZ

Urmele planului sunt drepte, dar acestea nu se noteaza intre paranteze rotunde, ele notandu-se prin initiala majuscula a planului iar indicele reprezinta planul de proiectie respectiv.

In epura aceste urme se reprezinta ca in figura de mai jos (fig. 3):

Fig. 3

Daca privim figura 2 si figura 3, observam ca planul nu are proiectii. Planul este definit prin urmele sale.

P_h, P_v, P_w sunt trei drepte particulare, continute in planul orizontal de proiectie, in planul vertical de proiectie si in planul lateral de proiectie.

Urmele planului se confunda cu proiectiile de acelasi nume, celelalte doua confundandu-se cu axele de coordonate. Urma orizontala a planului se confunda cu proiectia orizontala a acestei urme, proiectia verticala se gaseste pe linia de pamant, iar proiectia laterala pe axa departarilor OY.

Doua urme oarecare ale unui plan, pot defini singure planul, cea de-a treia urma rezultand.

3. DETERMINAREA URMELOR

Urma unui plan fiind o dreapta, pentru a o putea determina sunt necesare doua puncte, sau un punct si directia.

Fie doua drepte (AB) si (AC) ce definesc planul [P]. Aceste doua drepte inteapa planul orizontal de proiectie in urma h₁, (AB), iar (AC) in urma h₂. Urma orizontala a planului [P] este P_h apartine planului orizontal si trece prin h₁ si h₂. (fig. 4)

Fig. 4

In practica pentru a afla urma P_h a planului [P] definit de cele doua drepte (AB) si (AC) se realizeaza in felul urmator:

se afla urma orizontala h₁ a dreptei (AB);

se afla urma orizontala h₂ a dreptei (AC);

unind cele doua urme h₁ si h₂ aflam urma orizontala a planului P_h.

4. DREPTE SI PUNCTE CONTINUTE IN PLAN

Daca o dreapta (D), este continuta in planul [P], aceasta inteapa planele de proiectie in punctele ce reprezinta urmele dreptei. (fig. 5)

Fig. 5

Urmele dreptei se gasesc pe urmele de acelasi nume ale planului.

(D) ∩ [H] ≡ H de unde H I P_h

(D) ∩ [V] ≡ V de unde V I P_v

(D) ∩ [W ] ≡ W de unde W I P_w

In cazul cand dreapta (D), apartine planului [P], dar ea nu intersecteaza urmele planului, aceasta se va prelungi pana intersecteaza urmele planului in H si V, punctele obtinute constituie urmele dreptei pe planele de proiectie.

Putem spune ca daca o dreapta este continuta intr-un plan, urmele sale, se gasesc pe urmele de acelasi fel ale planului. Aceasta proprietate ne permite de a gasi urmele planului [P], determinat de doua drepte, de o dreapta si un punct sau de trei puncte.

Aceste cazuri vor fi detaliate mai jos.

Fie doua drepte (D₁) si (D₂) ce determina planul [P]. Pentru determinarea urmelor planului [P], vom gasi mai intai urmele H₁ si V₁ ale dreptei (D₁) si apoi urmele H₂ si V₂ ale dreptei (D₂). Gasind H₁ si H₂, respectiv h₁ si h₂, unindu-le aflam urma orizontala a planului, P_h. Avand V₁ si V₂, respectiv si aflam urma verticala a planului P_v. (fig. 6)

Fig. 6

P_h ≡ (h₁h₂) si P_v ≡ ()

In cazul in care planul este determinat de un punct si o dreapta, se va duce prin punct o dreapta paralela sau concurenta cu dreapta, modul de aflare a urmelor planului fiind analog cu rezolvarea de mai sus. Aflarea urmelor planului [P] determinat de un punct M si o dreapta (D), se poate urmari in figura 7. Prin punct a fost dusa o dreapta paralela la dreapta (D).

Fig. 7

Pentru aflarea urmelor planului [P] definit de punctele A, B,C (fig. 8) ducem prin cele trei puncte doua drepte concurente si urmarim modul de rezolvare de la problema din figura 6.

Fig. 8

DREPTELE PARTICULARE ALE PLANULUI

Orizontala planului (fig. 9) este o dreapta de nivel apartinand planului [P]. Proiectia verticala (d’) a orizontalei este paralela cu linia de pamant, iar proiectia orizontala (d), paralela cu urma orizontala P_h a planului.

(d’) ║ OX

(d) ║ P_h

Fig. 9

Frontala planului (F), fig. 10, este o dreapta continuta in plan si paralela cu planul vertical de proiectie [V].

(f’) ║ P_v

(f) ║ OX

(f’’) ║OZ

Fig. 10

Dreapta de profil (Δ), fig. 11, a planului are cele doua proiectii, verticala si orizontala in continuare si perpendiculare pe linia de pamant, iar proiectia laterala (Δ’’) paralela cu P_w.

Fig. 11

Linia de cea mai mare panta. Fie planul oarecare [Q] si planul de proiectie [H], care se intersecteaza dupa dreapta (D). (fig. 12)

Fig. 12

Luam un punct M ce apartine planului [Q], si ducem prin el o dreapta. Dreapta care trece prin M si face cel mai mare unghi α, cu proiectia sa pe planul [H], este totdeauna perpendiculara pe dreapta de intersectie (D) a celor doua plane.

Urmarind figura 12 observam ca dreptele (D₁) ║ (D), atunci si (d₁) ║(d). Cum dreapta (Δ) (D), atunci si proiectia ei (d) este perpendiculara pe toate orizontalele planului

[Q]. Planul [Q] fiind cunoscut atunci si dreapta (d) va fi cunoscuta si o numim linie de cea mai mare panta in raport cu planul [H].

Cum dreapta (D) este de fapt urma planului [Q], pe planul [H] si paralela cu (D₁), putem spune ca linia de cea mai mare panta (Δ) este perpendiculara pe toate orizontalele planului [Q] si implicit proiectiile lor vor fi perpendiculare.

Atunci cand planul este dat prin urmele sale (fig. 13), linia de cea mai mare panta poate fi construita imediat. Ea apare ca o dreapta oarecare continuta in plan, dar care este perpendiculara pe urma Q_h, deci pe orice orizontala.

Daca se cunosc proiectiile unei linii de cea mai mare panta ale unui plan, atunci acestea sunt suficiente pentru determinarea acestui plan. Pentru a construi linia de cea mai mare panta, intr-o epura in care planul este dat prin urmele sale, se incepe cu proiectia orizontala care este perpendiculara pe urma orizontala a planului.

Numim unghiul unui plan cu planul orizontal de proiectie, unghiul pe care il face linia de cea mai mare panta a acestuia cu planul orizontal.

Fig. 13

Linia de cea mai mare inclinatie, (fig. 14) a unui plan, este o dreapta a planului care face cel mai mare unghi cu planul vertical de proiectie.

Linia de cea mai mare inclinatie este perpendiculara pe urma verticala a planului ce o contine si pe toate frontalele acestuia.

Linia de cea mai mare inclinatie determina singura planul, si unghiul pe care planul il face cu planul vertical de proiectie.

Fig. 14