Logaritmi

1.Definitia logaritmului unui numar pozitiv
Fie a>0 un numar real pozitiv,a .Consideram ecuatia exponentiala
ax=N,N>0 (1)
Ecuatia (1) are o solutie care este unic determinata.Aceasta solutie se noteaza
X=logaN (2)
si se numeste logaritmul numarului pozitiv baza a.
Din (1) si (2) obtinem egalitatea
alogaN=N (3)
care ne arata ca logaritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza a (a>0,a )pentru a obtine numarul dat
Daca in (1) facem x=1,obtinem a1=a si deci
logaa=1 (4)
Exemple
1) Sa se calculeze log232.
Cum 25=32,atunci din definitia logaritmului avem log232=5.
2) Sa se determine log2 .
Din egalitatea 2-4= ,obtinem log2 =-4.
3)Sa sa determine log1/327.
Sa consideram ecuatia exponentiala x=27.Cum -3= -3=27,obtinem x=-3
si deci log1/327=-3.
4)Sa se determine log4256.
Cum 44=256,atunci din definitia logaritmului obtinem log4256=4.

Observatii

1.In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc si logaritmi zecimali.Acestia se noteaza cu lg in loc de log10;de aceea nu mai este nevoie sa se
specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 in loc de log10106 si lg5 in loc de log105 etc.
2.In matematica superioara apar foarte des logaritmi care au ca baza numarul
irational,notat cu e,e=2,718281828 . .Folosirea acestor logaritmi permite simpli-
ficarea multor formule matematice.Logaritmii in baza e apar in rezolvarea unor
probleme de fizica si intra in mod natural in descrierea matematica a unor pro-
cese chimice,biologice.De aceea acesti logaritmi se numesc naturali.Logaritmul
natural al numarului a se noteaza lna.
2.Functia logaritmica

Fie a>0,a un numar real.La punctul 1 am definit notiunea de logaritm in baza a;
fiecarui numar pozitiv N i s-a asociat un numar real bine determinat.Acest lucru ne permite sa definim o functie
f:(0,+ ) ,f(x)=logax numita functie logaritmica.

Proprietatile functiei logaritmice:

1.f(1)=0.
Cum a0=1 rezulta ca loga1=0 si deci f(1)=0.
2.Functia logaritmica este monotona.Daca a>1,atunci functia logaritmica este strict crescatoare,iar daca 0 Sa consideram cazul a>1 si fie x1,x2 (0,+ ) astfel incat x1 X2=alogax2,rezulta ca alogax1 Dar functia exponentiala fiind crescatoare obtinem ca logax1 In cazul 0 baza un numar real 0logax2,adica
f(x1)>f(x2).
3.Functia logaritmica este bijectiva
Daca x1,x2 (0,+ ) astfel incat f(x1)=f(x2),atunci din logax1=logax2.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obtinem x1=alogax1 si x2=alogax2,adica x1=x2.Deci f este o functie in-
jectiva.
Fie y un numar real oarecare.Notam cu x=ay.Se vede ca x si logax=logaay=y
Deci f(x)=y,ceea ce ne arata ca f este si surjectiva.Asadar,f este bijectiva.
4.Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala
Functia logaritmica f:( ,f(x)=logax,fiind bijectiva,este inversabila.Inversa ei
este functia exponentiala g ,g(x)=ax.
Intr-adevar,daca x avem (g f)(x)=g(f(x))=g(logax)=alogax=x si daca y ,atunci
atunci (f y)=logaay=y.

3)Proprietatile logaritmilor
Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati
pentru logaritmi: