Logica predicatelor
Un predicat este un enunt care depinde de una sau mai multe variabile si care are proprietatea ca pentru anumite valori ale variabilelor (valori care pot fi de exemplu numere sau, in general, elemente ale unei multimi) devine o propozitie. Un predicat care depinde de n variabile se numeste predicat n-ar.
In particular, pentru n = 1, 2, 3, avem predicate unare, binare si respectiv ternare.
Exemple
Enuntul:
a(n) = "3 este un divizor al lui n "
este un predicat care depinde de variabila n. Pentru fiecare numar intreg n, a(n) este o propozitie. si anume, daca n este un numar intreg de forma 5k, k numar intreg, atunci a(n) este o propozitie adevarata si pentru toate celelalte valori ale lui n, a(n) este o propozitie falsa.
Enuntul:
a(x, y) = "x + y = 2 "
este un predicat binar. Pentru orice doua numere reale x si y, a(x, y) este o propozitie. Propozitia a(1, 1) obtinuta dand lui x si y valorile x = 1, y = 1 este o propozitie adevarata, in timp ce propozitia a(0, 1) obtinuta dand lui x si y valorile x = 0, y = 1 este o propozitie falsa.
Sa consideram doua predicate unare a(x) si b(x). Cu ajutorul operatorilor logici putem construi si alte predicate unare, anume:
a(x), a(x) b(x), a(x) b(x), a(x) b(x), a(x) b(x)
De exemplu, predicatul a(x) b(x) este acel predicat c(x) care, pentru fiecare valoare a variabilei x coincide cu propozitia a(x) b(x). De asemenea, putem forma predicatele binare:
a(x) b(y), a(x) b(y), a(x) b(y), a(x) b(y)
Consecinta logica
Predicatul b(x) se numeste consecinta. logica a predicatului a(x) si scriem a(x) b(x) daca pentru orice valoare a variabilei x, propozitia a(x) b(x) este adevarata.
Tinand. seama de definitia implicatiei, avem a(x) b(x) daca si numai daca pentru orice valoare a variabilei x, propozitia b(x) este adevarata de fiecare data cand propozitia a(x) este adevarata.
Exemplu
Considerand predicatele:
a(x) = "x > 0 " si b(x) = "x2 > 0 "
care au sens pentru x numar real, avem:
a(x) b(x)
Echivalenta logica
Predicatele a(x) si b(x) sunt echivalente logic si scriem a(x) b(x) daca pentru orice valoare a variabilei x propozitia a(x) b(x) este adevarata.
Conform definitiei echivalentei, avem a(x) b(x) daca si numai daca pentru orice valoare a variabilei x, propozitiile a(x) si b(x) au aceeasi valoare de adevar.
Exemplu
Considerand predicatele:
a(x) = "x < 0 " si b(x) = "x 0 "
care au sens pentru x numar real, avem:
a(x) b(x) si a(x) b(x)
Relatiile de consecinta logica si echivalenta logica pot fi definite si intre predicate n-are, unde n > 2, intr-un mod evident. De exemplu, daca consideram predicatele:
x > y, y > 0 si x2 > y2
care au sens cand x si y sunt numere reale, avem:
x > y, y > 0 x2 > y2
De asemenea:
(x - y = 2) x - y 2.
In matematica, orice teorema se formuleaza - de regula - spunand ca un anumit predicat este consecinta logica a unui alt predicat, deci are forma:
a(x1, x2, , xn) b(y1, y2, , yn)
Exemple
. Teorema "Inaltimile unui triunghi sunt concurente " are forma:
a(x, y, z) b(x, y, z)
unde a(x, y, z) este predicatul "x, y, z sunt inaltimile unui triunghi " si b(x, y, z) este predicatul "x, y, z sunt concurente ".
. Teorema "Diagonalele unui romb sunt perpendiculare "are forma:
a(x, y) b(x, y)
unde a(x, y) este predicatul "x, y sunt diagonalele unui romb " si b(x, y) este predicatul "x, y sunt perpendiculare ".
