Miscari efluente, Timp de golire, Curgerea prin orificii mari

Miscari efluente, Timp de golire, Curgerea prin orificii mari

Problema V.1.

Sa se determine timpul de golire al unui rezervor cilindric cu dimensiunile D=1,5 m si inaltimea L=3 m in doua pozitii

a) asezat vertical

b) asezat orizontal

Orificiul de golire are a=0,50 dm²

a) in pozitie verticala sectiunea transversala a rezervorului este constanta

b) In pozitie orizontala, sectiunea transversala este variabila dupa cum se vede in figura, adica S=S(z)

Incercam determinarea functiei S(z)

unde, prin teorema lui Pitagora

Cu aceasta explicitare, integrala devine

prin substitutie de variabila limitele devin

Revenind la relatia finala a timpului de golire

In final, putem conchide ca, acelasi rezervor, in pozitie verticala se goleste mai rapid.

Problema V.2.

Un rezervor sferic cu raza R=1,5 m se goleste printr-un orificiu de sectiune a=0,1 m², prin orificiul superior facandu-se aerisirea si se evita formarea pernei vidate.

Care este timpul de golire completa a rezervorului ?

Reformulam

si prin separarea variabilelor

Dupa cum rezulta din figura,

A avut loc, pe cale geometrica, o schimbare de variabila, noua noastra necunoscuta este . Dupa inlocuire, problema devine o problema de calcul trigonometric.

integram pe intervalul [0, π]

ne concentram asupra integralei

Variabila devine cos

deci, integrala devine

Problema V.3.

Un vas cilindric de diametrul D=2 m si greutate G, pluteste la suprafata apei, avand pescajul h=0,5 m. Prin deschiderea orificiului de admisie de la partea inferioara , acesta incepe sa se scufunde.

Sa se determine timpul de scufundare T scurs din momentul deschiderii orificiului pana cand pescajul devine H=1,5 m. Orificiul de fund are diametrul d=0,05 m si coeficientul de debit μ=0,63. Grosimea peretelui este neglijabila.

Initial,

In final,

Inlocuind pe G

Observatie: Diferenta initiala de nivel este egala cu diferenta de nivel intre interior si

exterior.

Aceasta observatie permite calculul debitului de invadare si stabileste ca acesta este constant in timp.

In aceasa situatie, timpul se calculeaza usor

Unde - volumul de apa care a intrat in cilindru pana in final.

Problema V.4.

Sa se determine timpul necesar ca nivelul suprafetei libere din partea dreapta sa creasca cu 0 m, rezervorul din stanga fiind nealimentat.

Se cunosc ariile transversale ale celor doua rezervoare S₁=1,6 m², S₂=1,8 m², iar diametrul orificiului din peretele ce desparte cele doua rezervoare este 100 mm. (coeficientul de debit μ

Rezervorul din stanga se goleste

in timp ce rezervorul din dreapta se umple

explicitand timpul

H_initial=2 m

H_final=?

Evident, volumul schimbat intre cele doua rezervoare se conserva, adica:

Diferenta finala de nivel este

Au fost stabilite deci limitele de integrare

Problema V.5.

In peretele vertical al unui rezervor cu lichid, umplut pana la cota H=4 m, se practica doua orificii de sectiuni egale A₁=A₂, cel de jos (μ₁=0,7) fiind situat la h₁=30 cm (fata de sol).

La ce cota trebuie plasat al doilea orificiu (μ₂=0,64) pentru ca jeturile lor sa atinga solul in acelasi punct ?

Pentru orificiul inferior, ecuatiile parametrice de miscare devin

Stim ca prin eliminarea timpului intre cele doua ecuatii obtinem ecuatia traiectoriei (parabola)

contactul cu solul se realizeaza pentru z=0, cand x=L

Analog se construieste sistemul pentru orificiul de sus

De unde rezulta

necunoscuta este h₂

Ecuatia de gradul II admite doua solutii :

Problema V.6.

Sa se determine debitul evacuat printr-un orificiu mare, tringhiular, (triunghi isoscel), avand datele in figura alaturata, respectiv urmatoarele valori numerice H=1m, b=0 m, μ=0,7.

Problema orificiului mare provine din cea a orificiului mic, in sensul ca putem diviza acest orificiu mare intr-un numar de fante orizontale, infinit subtiri, care respecta conditia orificiului mic.

Prin fiecare din aceste fante va trece debitul

Pregatim datele prin cateva observatii geometrice

(Teorema lui Pitagora, unde b este inaltimea triunghiului)

(laturile egale ale triunghiului isoscel)

si izolam variabilele de integrare (z)

Debitul total al orificiului este suma debitelor dQ prin toate fantele dz "practicate" intre varful si baza triunghiului.

se separa in doua integrale

restul depinde de o corecta operare in paranteza acolada in final, sub forma literara expresia devenind

si dupa inlocuirea cu datele Q=0,2308 m³/sec.

Problema V.7.

Un rezervor cu nivel constant A ce contine apa pana la nivelul h=1,5 m, alimenteaza  un bazin de mari dimensiuni B aflat undeva dedesubt, cu suprafata libera la H=1 m sub fundul rezervorului A.

Sa se calculeze debitul de alimentare in trei situatii.

a) debitul iese din A printr-un orificiu de fund cu diametrul d=50 mm si coeficientul de debit μ=0,62

b) orificiul este inlocuit de o conducta verticala de lungime L pana la nivelul apei din B (nu intra in apa in B)

c) orificiul este inlocuit de o conducta verticala de lungime L pana la nivelul apei din B (conducta intra in apa in B).

Rezolvarea in cazul punctului  a) este imediata

Retinem valoarea debitului

In cazurile b si c

iar pierderile de sarcina intre 1-> 2 sunt exprimabile sub forma

unde este coeficientul de pierdere locala la intrarea in conducta (din rezervor)

- relatia de calcul a pierderii conform teoremei Borda-Carnot (salt brusc de sectiune), al treilea termen fiind pierderea liniara pe lungimea L.

Factorizand pe

Revenim la relatia energetica initiala, facand si particularizarile care se impun

de unde

sau coeficientul de viteza devine identic cu coeficientul de debit.

Cu aceasta relatie se discuta cazurile urmatoare.

b)

c) L>H (putin mai mare)

diferentele apar la coeficientul de debit

Observatie.

Cele doua debite cu conducta (actionand ca un ajutaj, adica conducta scurta), difera neesential, dar structura coeficientului de debit este diferita.

Ceea ce conteaza este insa lungimea conductei care vedem ca mareste debitul

( fata de orificiu, evident).

Lungimea conductei multiplica insa pierderile liniare, deci s-ar putea ca la un moment dat debitul sa scada, ajungand la valoarea determinata la orificiu (cazul a).

Putem pune intrebarea: Care este lungimea conductei pentru care

Relatie la care explicitam L

conducta este scufundata departe

Problema V.8.

Pe un canal de ventilatie sunt practicate orificii laterale pentru refularea aerului, avand diametrul d=0,04 m si coeficientul de debit μ=0,59.

Sa se determine :

a) presiunea statica in canal, in dreptul orificiului, necesara asigurarii unui debit refulat prin orificiu de 20 m³/h.

b) Variatia de presiune admisa intre doua orificii consecutive pe lungimea canalului, astfel ca debitele de aer refulate prin acestea sa nu difere cu mai mult de 5%.

=1,23 kg/m³ si aerul, in aceasta problema este considerat incompresibil.

Rezolvare

a) Expresia de calcul a debitului de aer prin orificiu pastreaza forma cunoscuta

deci, pentru asigurarea debitului impus, suprapresiunea din interior, in dreptul fiecarui orificiu, trebuie sa fie

b) Atunci cand prin orificiul 1 se refuleaza Q₁ , iar prin orificiul 2, Q₂ si

implicit, exprimand debite in maniera cunoscuta

aplicand proprietati ale sirului de rapoarte egale,

Pentru variatiile impuse de debit, variatia admisa de presiune intre cele doua puncte este 9,75%. Aceasta discutie poate deschide o importanta problema practica : distributia debitelor de ventilatie, avand in vedere pierderile distribuite pe conducta principala si modificarea permanenta de debit evacuat cu fiecare lungime parcursa.

Problema V.9.

Sa se calculeze suprapresiunea p a pernei de aer de la partea superioara a recipientului din figura, care ar determina golirea lui de doua ori mai repede decat atunci cand suprafata libera ar fi la presiunea atmosferica.

Presiunea p (indicata de manometrul M) ramane constanta in timpul golirii.

In pregatirea relatiei de calcul a timpului de golire, incercam sa formulam expresia debitului in cele doua situatii.

I . suprafata la presiunea atmosferica p₁=p_at

Reproducand rationamentul, in situatia rezervorului sub presiune

Pornind pe aceasta cale insa, prin substitutii succesive, rezolvarea integralei se complica, asa ca este preferabil sa o rezolvam in variabilele originale.

necunoscuta devine

Suprapresiunea in unitati SI

Problema V.10.

Reluam calculul orificiilor mari pe o problema "unificatoare", care permite compararea debitelor intre diferite sectiuni de orificii si particularizarea acestui calcul in cazul deversoarelor.

Sa se calculeze debitele de lichid prin patru categorii de orificii mari (conform figurii) si sa se compare debitele intre ele, in urmatoarele conditii:

toate orificiile au aceeasi arie (A) si aceeasi inaltime I=2R;

distanta H de la suprafata libera la marginea superioara este aceeasi, si egala cu H=4R.

In cadrul problemei V.6. am determinat expresia generica a debitului printr-un orificiu mare.

Particularizam pentru cele patru tipuri de orificii:

I.     Orificiul circular

II.       Orificiul dreptunghiular I=2R

si latura b(z)=L=const

III.     Orificiul triunghiular cu latura B (superioara) si inaltimea I=2R

IV.    Orificiul triunghiular cu baza B (inferioara) si inaltimea I

Compararea debitelor nu se poate face decat compactand relatiile anterioare prin indicatiile din enunt (egalitatea ariilor, I=2R)

B (baza orificiului triunghiular)

Avand in vedere totodata ca H=4R se obtine pentru

I.     orificiu circular

II.       orificiu dreptungiular

III.     orificiu triunghiular cu baza sus

IV.    orificiu triunghiular cu baza jos

Concluzie. Debitul creste daca in aceste conditii orificiul are cele mai mari valori ale lui b(z) la partea inferioara.

Daca orificiul triunghiular cu varful in jos este ales etalon, (100%) celelalte vor avea urmatoarele debite relative :

orificiul circular 103,5%

orificiul dreptunghiular 103,5%

orificiul triunghiurilor cu baza in jos 106,9%

Observatii

Integrala debitului in cazul orificiului circular este mai dificila, dar se poate rezolva prin substitutia trigonometrica

In integrala de forma

Se dezvolta in serie

Problema V.11.

Sa se calculeze debitul teoretic de lichid prin orificiul trapezoidal din peretele inclinat al vasului (vezi figura).

Particularizati rezultatul pentru :

a) orificiul triunghiular cu varful in jos

b) orificiul triunghiular cu varful in sus

c) orificiul dreptunghiular si peretele vertical

d) deversorul trapezoidal in peretele vertical

Elementul de arie este

Integrala fara dificultati (suma de integrale)

conditia de particularizare pentru a)

b=0 

conditia de particularizare pentru b)

B=0

conditia de particularizare pentru c)

b=B si

conditia de particularizare pentru d)

Bibliografie

ANTON, Liviu; BALINT, Daniel; BAYA, Alexandru; BADARAU, Rodica; BALASOIU, Victor; BEJ, Adrian; MILOS, Teodor; MUNTEANU, Sebastian; RESIGA, Romeo, STUPARU, Adrian. Mecanica Fluidelor, Masini Hidraulice si Actionari. Aplicatii de calcul. Editura Orizonturi Universitare, Timisoara, 2004

IAMANDI, C.; PETRESCU, V.; SANDU, L.; DAMIAN, R.; ANTON, A. ; DEGERATU, M. Hidraulica Instalatiilor. Elemente de calcul si aplicatii. Editura Tehnica, Bucuresti, 1985.

ANCUSA, Victor  - Culegere de probleme de Mecanica Fluidelor si Masini Hidraulice, editia a II-a, revizuita si completata, Universitatea Tehnica Timisoara, 1993

FLOREA, Julieta  ; ZIDARU, Gheorghe ; PANAITESCU, Valeriu - Mecanica Fluidelor - Probleme, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1976