Relatii intre radacini si coeficienti (formulele lui Vičte)

Relatii intre radacini si coeficienti (formulele lui Vičte)

Formulele lui Vičte

Fie un polinom de grad n . Daca sunt radacinile lui f , atunci:

Invers, daca numerele complexe satisfac relatiile de mai sus, atunci ele sunt radacinile polinomului f .

Observatie

Pentru polinomul de gradul III, , cu radacinile , relatiile lui Vičte sunt:

.

Exemplu

Sa se determine radacinile polinomului , , stiind ca produsul a doua radacini este egal cu 4. Aflati in aceste conditii si parametrul a .

Rezolvare:

Relatiile lui Vičte in acest caz sunt:

; stiind ca . Atunci din vom avea ca . Cum - 2 este radacina a lui f rezulta ca f(-2) = 0 adica .

Pentru a afla celelalte doua radacini avem doua metode:

Metoda I. (relatiile lui Vičte)

Inlocuim in prima relatie, vom avea sistemul ale carui solutii vor fi

Metoda II. (Horner)

Cum - 2 este radacina a lui f rezulta ca (X + 2) divide pe f . Cu schema lui Horner aflam catul impartirii lui f la (X + 2) si polinomul se va scrie descompus f = Rezolvand ecuatia .

Observatie

Pentru polinomul de gradul IV,

, este util sa cunoastem urmatoarea scriere pentru relatiile lui Vičte: