Despre numarul de aur (Phi si phi)
Sa incepem cu o problema de estetica. Sa consideram un segment de dreapta. Care este cea mai "placuta" impartire a acestui segment in doua parti ? Unii ar spune ca in doua jumatati, altii ar spune ca in proportie de 3:1
Grecii antici au gasit un raspuns pe care ei il considerau corect (teoreticienii il numesc "simetrie dinamica"). Daca partii stangi a segmentului ii atribuim lungimea u=1, atunci partea dreapta va avea o lungime v=0,618 . Despre un segment partitionat astfel spunem ca este impartit in Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divina).
Care este justificatia pentru inzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este ca lungimea u reprezinta aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cat reprezinta lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :
Daca notam Ф=u/v, vom rezolva ecuatia pentru Ф, observand ca :
Radacina pozitiva a ecuatiei, care se poate scrie
Ф2 - Ф - 1 = 0
este :
o constanta care este numita Numarul de aur sau Proportia divina.
Daca presupunem u=1, atunci
, cum am presupus mai devreme. Notam numarul v = 0.6180339887 . = Ф (phi).
Numarul de aur si Fibonacci
Afirmam ca numarul nostru Phi este strans legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :
f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).
Acest sir exprima (intr-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune ca iepurii au cate doi pui o data la fiecare luna dupa ce implinesc varsta de doua luni. De asemenea, puii nu mor niciodata si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.
In felul acesta, numarul de perechi de iepuri existente dupa n luni ar trebui sa fie f¬¬n. Va puneti intrebarea ce poate avea in comun Ф cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabila a matematicii. Pentru inceput sa observam ca :
Ф este o fractie infinita.
Acum sa privim fractiile partiale :
Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce "motiveaza" teorema ce spune ca :
In cuvinte putem spune ca, pe masura ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de Ф. Aceasta teorema este valabila pentru orice secventa arbitrara ce satisface recurenta :
fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea ca primii doi termeni sunt diferiti.
