Omotetia

OMOTETIA

Pozitia relativa a doua cercuri

Fie cercurile C`(O`, r`), C``(O``, r``) si d = O`O`` ( distanta dintre centrle cercurilor)

Daca d > r`+ r`` cercurile nu au puncte comune si se numesc cercuri exterioare.

Daca d = r` + r`` cercurile au un punct comun si se numesc cercuri tangente exterior.

Punctul comun se numeste punct de tangenta si este coliniar cu centrele cercurilor.  

Daca | r` - r``| < d < r` + r`` cercurile au doua puncte comune si se numesc cercuri secante

Definitia omotetiei

La reprezentarea prin desen a unei figuri date se pune problema executarii acestui desen la o anumita scara. Schimband scara se schimba in mod proportional toate dimensiunile figurii respective. Aceasta problema apare, de exemplu in desenarea unei harti, in dimensionarea unei fotografii, in realizarea unor planse de diferite dimensiuni care reprezinta acelas obiect.

Transformarea prin omotetie sau omotetia este o transformare geometrica a punctelor unui plan care are propietatea ca mareste(micsoreaza) dimensiunile toturor figurilor de acelas numar de ori.

Fie O un punct al planului si k un numar real nenul.

Se numeste omotetie de centru O si raport k o transformare H care asociaza fiecarui punct M punctul M` = H(M) astfel incat OM` = kOM (fig. I.79)

M` Fig. I.79

M

O

Daca k = 1 atunci OM` = OM adica M = M` deci fiecarui punct ii corespunde el insusi. In figurile urmatoare sunt ilustrate transformarile unui triunghi ABC printr-o omotetie in care, respectiv k = 2, k = -2 si k = -1 ( fig.I.80) (fig. I.81 ) ( fig. I.82).

Fig. I.80 B`

B

C C`

O

A

A`

A`

B

C

Fig. I.8   O

C` A

B`

A` B

C` C Fig. I.82

B` A`

In figura I.82 se observa ca pentru k = -1, OA = -OA`, adica O este mijlocul segmentului AA` iar H este simentrie in raport cu O.

Daca F este o multime de puncte din plan se va nota cu H(F) multimea transformatelor prin omotetie a punctelor lui F.

O omotetie este determinata daca se cunoaste centrul O si transformatul M` al unui punct M = O. Atunci OM` daca M` si M sunt de aceeasi parte a lui O si k = _ OM` ,

OM OM

daca M` si M sunt de o parte si de alta a lui O.  

Proprietatile omotetiei de centru O si raport k

H(O) = O

Daca A si B sunt doua distincte si A` = H(A), B` = H(B) atunci A`B` = kAB si

H(AB) = A`B` (omotetia pastreaza directia unui segment orientat, pastreaza sau inverseaza sensul dupa cum k > 0 sau k < 0, multiplica lungimea cu |k|) ( fig.I.83).

A` N` M` B` A` B

M

AA A

A B A

M`

O B` Fig. I.83

Daca d este o dreapta atunci H(d) este o dreapta paralela cu ea iar daca d trece prin centrul de omotetie atunci H(d) = d ( fig.I.84).

O

d H(d)

Daca ABC este un triunghi si A` = H(B), C` = H(B), C` = H(C) atunci H(ABC ) = A`B`C` este un triunghi asemenea cu ABC.

Aceasta propietate rezulta din faptul ca cele doua triunghiuri au laturile proportionale.

Daca <ABC se transforma prin omotetie atunci H(<ABC) este un triunghi congruent cu <ABC.

Daca F este un poligon atunci H(F) este un poligon asemenea cu el.

Un cerc de raza r se transforma prin omotetie intr-un cerc de raza |k|r.

	Omotetia pastreaza directiile si unghiurile. Toate lungimile cresc sau descresc cu acelas raport.

Daca se da un caroiaj acesta poate fi utilizat pentru a ilustra transformarea unei figuri prin omotetie