QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Multlmi





MULTlMI


Prin multime intelegem o colectie de obiecte care se numesc elementele multimii. Vom nota cu litere mari multimile, cu litere mici elementele lor. Daca A este o multime si x un element al sau, vom scrie x I A si vom citi ,,x apartine lui A'. Daca x nu se gaseste in A, atunci vom scrie x A si vom citi ,,x nu apartine lui A'.



Exista doua moduri de definire (de determinare) a unei multimi:

i) Numind individual elementele sale. In acest caz, multimea se specifica scriind intre acolade elementele sale . De exemplu, A = , adica multimea formata din primele patru numere naturale; B = adica multimea formata din primele cinci litere ale alfabetului latin.

ii) Specificand o proprietate pe care o au elementele sale si nu le au alte elemente. Mai precis, data o proprietate se poate vorbi de multimea acelor obiecte pentru care proprietatea respectiva are loc. Multimile definite in acest mod se vor nota prin A = , adica multimea acelor obiecte x pentru care are loc P(x).

De exemplu, sa consideram proprietatea a fi numar natural par'; in acest caz multimea A va fi multimea numerelor naturale pare.

O multime care are un numar finit de elemente se zice finita. In caz contrar se numeste infinita.

Pentru cateva multimi care vor fi des utilizate avem notatii speciale: cu N vom nota multimea numerelor naturale, adica N = . Cu N* vom nota multimea    numerelor naturale nenule, adica N = . Cu Z vom nota multimea numerelor intregi, cu Q multimea numerelor rationale, cu R multimea numerelor reale, iar cu C multimea numerelor complexe.

In teoria multimilor se admite existenta unei multimi care nu are nici un element, aceasta se numeste multimea vida si se noteaza cu simbolul


Daca A si B sunt doua multimi, vom spune ca A este o submultime a lui B (sau A este continuta, respectiv inclusa in B) si vom scrie A B daca orice element al multimii A este si element al multimii B. Simbolic scriem astfel: x, x I A T x I B.

Multimea vida este o submultime a oricarei multimi. Intre multimile considerate mai inainte avem incluziunile: N* N Z Q R C.



Doua multimi A si B se zice ca sunt egale daca au aceleasi elemente, adica A = B A B si B A (" " inseamna 'daca si numai daca').

Relatia de incluziune (resp. relatia de egalitate) intre multimi are proprietatile urmatoare:

a) este reflexiva, adica A A (resp. A = A);

b) este antisimetrica, adica din A B si B A rezulta A = B (resp. este simetrica adica A = B T B = A);

c) este tranzitiva, adica A B si B C  T A C (resp. A = B si B = C T A = C).




Relatia de incluziune ne permite sa definim multimea partilor unei multimi T, notata cu P(T), adica P(T) are ca elemente toate submultimile multimii T.

Cu multimi se fac urmatoarele operatii:

. intersectia a doua multimi A si B inseamna multimea

A B = ;

. reuniunea multimilor A si B inseamna multimea

A B = .

In cazul cand A B = , atunci spunem ca multimile A si B sunt disjuncte

Operatiile de intersectie si reuniune satisfac egalitatile

A (B C) = (A B) (A C),



A (B C) = (A B) (A C).

Prin diferenta multimilor B si A intelegem multimea

B A = .

Daca A este o submultime a lui B, atunci diferenta B A se numeste complementa-ra multimii A in B si se noteaza cu CBA. De exemplu CB = B, iar CBB =

Daca A si A' sunt doua submultimi ale multimii B au loc egalitatile:

CB (A A') = (CBA) (CB A')

CB (A A') = (CBA) (CBA')

numite formulele lui de Morgan.

Fie A si B doua multimi arbitrare. Daca a I A si b I B, atunci putem forma perechea ordonata (cuplul) (a, b), adica perechea formata din elementele a si b unde este stabilita o anumita ordine in sensul ca a este primul element iar b este al doilea element in aceasta pereche. Rezulta ca doua perechi (a1, b1) si (a2 , b2) sunt egale daca si numai daca a1 = a2 si b1 = b2. Prin produsul cartezian al multimilor A si B intelegem multimea

A x B=.

Cand A = B, atunci notam A2 = A x A.

Se observa ca daca una dintre multimile A sau B este multimea vida,   atunci A x B = . In plus, daca A are m elemente iar B are n elemente, atunci multimea A x B are m n elemente.




}); Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:




Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }