Forma diagonala

Forma diagonala

In cele ce urmeaza, V va fi un K- spatiu vectorial de dimensiune n si f:V V o aplicatie liniara. Se pune problema gasirii unei baze in V in raport cu care matricea asociata aplicatiei liniare sa aiba o forma cat mai simpla. Aplicatia liniara f:VV este diagonalizabila daca exista o baza in V in raport cu care matricea atasata aplicatiei f sa fie diagonala, adica o matrice de forma:

cu a_iiK.

Procedeu

1) Consideram o baza in spatiul vectorial V si determinam matricea A=(a_ij)_ij a aplicatiei liniare f in aceasta baza.

2) Determinam valorile proprii ale lui A si verificam daca se gasesc toate in corpul K. In caz contrar, oprim procedeul.

3) Aflam cate valori proprii exista si care este ordinul lor de multiplicitate. Presupunem ca avem q valori proprii distincte, qn, cu ordinele de multiplicitate , . Calculam rangul fiecarei matrice A-I_n, cu j. Daca rangul fiecarei matrice (A-I_n ) este n- atunci f este diagonalizabil. In caz contrar, f nu este diagonalizabila si oprim procedeul.

4) Rezolvam cele q sisteme omogene (A-I_n )X=0, cu j. Un sistem fundamental de solutii al unui astfel de sistem reprezinta o baza in subspatiul propriu S(). Deci matricea aplicatiei f, in raport cu baza formata din vectorii proprii astfel gasiti are pe diagonala valorile proprii , , , care apar de atatea ori cat este ordinul lor de multiplicitate.

5) Daca DM_n(K) este matricea diagonala astfel gasita mai sus si LM_n(K) este matricea de trecere de la baza initiala la baza formata din vectorii proprii, atunci D=L^-1AL.