Fie problema:
O casa are baza in forma de dreptunghi, cu lungimea de 13m si latimea de 7,5m. Proprietarul doreste sa-si construiasca o bordura de ciment, de aceeasi latime pe toate laturile casei (vezi desenul). Fondurile pe care le are il obliga la o suprafata construibila de 33m2.
x 13m
In conditiile date, care este latimea
maxima pe care o poate avea bordura
casei?
CASA
7,5m
Pentru rezolvarea acestei probleme notam cu x, in metri, latimea bordurii si putem scrie urmatoarea ecuatie:
4x2 + 41x =33 4x2 + 41x -33 = 0
Se observa ca aceasta ecuatie este diferita de tipul de ecuatii invatate anterior. Deoarece necunoscuta x apare si la puterea a doua, aceasta ecuatie spunem ca se numeste de gradul al II-lea.
Forma generala a unei ecuatii de gradul al II-lea este:
ax2 + bx + c = 0 (1)
unde a,b,c sunt numere reale, cu a 0. Aceasta ecuatie se numeste de gradul al II-lea cu coeficienti reali.
Rezolvarea ecuatiei (1) presupune determinarea tuturor solutiilor (radacinilor) sale.
Existenta radacinilor reale precum si numarul lor depind de expresia
b2 - 4ac (2)
care se numeste discriminantul ecuatiei de gr. al II-lea si se noteaza cu .
Daca discriminantul este pozitiv, atunci ecuatia are doua radacini reale, diferite intre ele:
(3)
In cazul in care = 0, atunci ecuatia are doua solutii reale, egale:
Putem avea si doua cazuri particulare de rezolvare a ecuatiei (1) si anume:
a)Daca coeficientul b al lui x este nul atunci ecuatia devine:
ax2 + c = 0
In aceasta situatie ecuatia are doua solutii reale, egale numai daca c 0 si ele sunt:
b)Daca termenul liber c este egal cu zero. atunci forma ecuatiei este:
ax2 + bx = 0
Rezolvarea este:
Ecuatia de gradul al doilea, care are discriminantul 0, admite si doua forme particulare importante, si anume:
1. Daca in ecuatia (1) coeficientul b al lui x este de forma: b = 2b1 atunci obtinem: ax2 + 2b1x + c = 0, pentru care discriminantul devine
