Determinarea unei ecuatii daca se cunosc radacinile ei

Determinarea unei ecuatii daca se cunosc radacinile ei

Cunoscand radacinile ale unei ecuatii putem forma aceasta ecuatie (la fel ca la ecuatia de gradul II), calculand in prealabil sumele din relatiile lui Vičte si inlocuind in ecuatia:

Exemplu

Formati ecuatia ce are radacinile 1, 2 si 5.

Rezolvare:

si inlocuind in formula data obtinem ecuatia

Exercitii propuse

A. (usoare)

Sa se arate ca polinomul se divide la X - 1 .

Sa se determine parametrul m , astfel incat polinomul sa se divida la X - 2.

Sa se determine radacinile polinomului stiind ca are radacina

Sa se determine ecuatia de gradul cel mai mic stiind ca are radacina dubla pe 1 si radacini simple 2 si - 3.

Fie polinomul . Sa se determine radacinile polinomului stiind ca

Sa se determine ordinul de multiplicitate al radacinii 2 pentru polinomul

B. (nivel mediu)

Sa se determine a , b , c astfel incat polinomul sa se divida la

Sa se determine parametrii a si b stiind ca polinomul are radacina dubla

Sa se determine ordinul de multiplicitate al radacinilor 1 si - 1 pentru polinomul .

Sa se determine m astfel incat suma a doua radacini ale ecuatiei sa fie egala cu 1.

Sa se determine m astfel ca o radacina a ecuatiei sa fie dublul altei radacini.

Sa se rezolve ecuatia stiind ca radacinile sale sunt in progresie aritmetica.

Sa se rezolve ecuatia stiind ca suma primelor doua radacini este egala cu opusul mediei aritmetice a celorlalte doua.

Fie ecuatia avand radacinile . Sa se determine ecuatia in y care are radacinile

daca:

a.   ;

b.       , , .

C. (dificile)

15. Sa se arate ca polinomul se divide prin

16. Sa se determine A si B astfel incat polinomul sa fie divizibil cu

17. Sa se arate ca polinomul este divizibil prin

18. Daca sunt radacinile polinomului si sa se calculeze :

a) ; b) ; c)

19. Sa se arate ca 1 este radacina dubla pentru polinomul

20. Fie ecuatia . Sa se arate ca aceasta ecuatie admite cel mult doua radacini reale.

21. Sa se arate ca g divide f , unde si sunt polinoame din C[x] , iar n este numar natural.

22. Stiind ca ecuatia

admite si radacini independente de a , sa se determine multimea valorilor lui a pentru care toate radacinile ecuatiei sunt strict pozitive.