QReferate - referate pentru educatia ta.
Referatele noastre - sursa ta de inspiratie! Referate oferite gratuit, lucrari si proiecte cu imagini si grafice. Fiecare referat, proiect sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Referate matematica

Analiza matematica - Definitii si teoreme ptr examen








Analiza matematica - Definitii si teoreme ptr examen

Definitii

1.Fie f:  D , D ,c punct de acumulare ce apartine lui D. Daca exista , se numeste derivata lui f in c si se noteaza f '(c). Spunem in acest caz ca f este derivabila in c.

Legatura dintre derivabilitate si continuitate : Fie f:D, D ,c punct de acumulare al lui D ce apartine lui D. Daca f este derivabila in c rezulta f continua in c. (Continuitatea este o conditie necesara pentru derivabilitate dar nu si suficienta. Exemplu: f:R ,f(x)=|x|, pentru orice x din R)



2. Fie f:D,D si c un punct din D.

c se numeste punct de maxim local(relativ) al functiei f daca exista astfel incat pentru orice avem

c se numeste punct de minim local(relativ) al functiei f daca exista astfel pentru orice avem

3.a)Fie f:D unde  si c punct interior al lui D si fie .Un vector se numeste derivata lui f in c dupa vectorul u (sau dupa directia u daca ||u||=1), daca exista limita  si .

    b)Fie f:D unde  si c punct interior al lui D. Fie pentru orice , unde 1 este pe pozitia i. Atunci daca exista ,respectiv   ele se numesc derivata partiala a lui f in c in raport cu variabilele respectiv derivata partiala a lui f in raport cu variabilele.

4. Fie . f este diferentiabila (derivabila) in c daca exista o aplicatie liniara ( ie ) astfel incat

5. Pentru o functie siastfel incat exista si sunt continue derivatele partiale de ordinul al II-lea ale lui f pe o vecinatate a lui c, definim diferentiala de ordin 2 a lui f in c ca fiind aplicatia : ,data de.

Analog pentru o functie si astfel incat exista si sunt continue derivatele partiale de ordin 3ale lui f in c, definim diferentiala de ordin 3 ca fiind aplicatia  data de

Analog se defineste diferentiala de orice ordin intr-un punct.

6.Fie functia si.Daca derivatele partiale de ordin 1 exista si sunt continue in c spunem ca f este de clasa C1  in c. Daca si f este de clasa C1 in orice punct din D0 spunem ca f este de clasa C1 pe D0.

7. Fie marginite. O suma Riemann-Stieltjes a lui f in raport cu g corespunzatoare partitiei a lui [a,b] are forma .( O partitie (sau diviziune) a lui [a,b]este o familie finita de intervale inchise care au in comun cel mult un punct si a caror reuniune este [a,b]).

 (*)Fie marginite. Spunem ca f este integrabila  Riemann-Stieltjes  in raport cu g daca exista un numar real I cu proprietatea ca pentru  partitie a lui [a,b] astfel incat pentru orice partitie P care este rafinare a lui si orice suma Riemann-Stieltjes S(P;f,g) corespunzatoare lui P avem In acest caz I este unic determinat si se numeste integrala Riemann-Stieltjes a lui f in raport cu g si notam

Cand g(x)=0, pentru orice x din [a,b] spunem ca f este integrabila Riemann.

 

8. Un interval inchis din  este o submultime J a lui de forma . Masura lui J este numarul .

      O submultime Z a lui se numeste de masura nula daca pentru orice exista o familie finita de intervale inchise astfel incat Z este continuta in reuniunea elementelor acestei familii si

      (Pentru D o submultime marginita a lui  care are frontiera de masura nula , spunem ca D este masurabila si definim masura lui D notata cu A(D) ca fiind )

9.Fie  o multime compacta iar o functie marginita. O suma Riemann a lui f corespunzatoare partitieia lui are forma Un element se numeste integrala Riemann a lui f daca pentru orice partitie a luiastfel incat pentru orice partitie P care este rafinare a lui  si orice suma Riemann S(P;f) corespunzatoare lui P avem . In acest caz L este unic determinat nu depinde de  si se numeste integrala Riemann a lui f pe D si se noteaza sau,pentru p=2  sau pentru p=3

10. Fie ,f o functie cu valori reale al carei domeniu de definitie contine pe (a,b]. Presupunem f este integrabila Riemann pe orice interval [c,b] unde si notam .Definim integrala improprie a lui f pe J=[a,b] ca fiind .

In cadrul de mai sus daca exista I numar real astfel incat pentru astfel incat pentru spunem ca I este integrala improprie a lui f pe J=[a,b] si vom nota aceasta valoare prin

11.In cadrul definitiei 10 ,in cazul in care exista , se noteaza cu (CPN)  si se va numi valoarea principala Cauchy a integralei.

12. a)Fie .Daca exista atunci spunem ca f este absolut integrabila pe  sau ca converge absolut.

       b)Fie . Presupunem ca pentru Vom spune ca aceasta convergenta este uniforma (in raport cu ) daca pentru astfel incat pentru orice avem.Definitii similare exista si pentru

13.Daca sir de elemente din definim seria generata de ca fiind sirul .Daca S este convergent limita lui S se numeste suma seriei.

14.Daca este un sir de elemente din spunem ca seria este absolut convergenta daca seria este convergenta. O serie se numeste semiconvergenta daca este convertgenta dar nu este absolut convergenta.

15. Pentru seriile cu termeni din se defineste produsul Cauchy al lor ca fiind seria .

16.a)Daca sir de functii cu ,iar sirul sumelor sale partiale unde converge pe D catre spunem ca seria  converge pe D catre f.

     b)Daca pentru converge spunem ca seria converge absolut pe D.

      c)Daca converge uniform catre spunem ca seria  converge uniform pe D catre f.

17.O serie de functii se numeste serie de puteri in jurul lui c daca pentru astfel incat

18.Fie o serie de puteri.Daca sirul este marginit fie .Daca sirul este nemarginit fie Definim raza de convergenta a serie de puteri ca fiind .

TEOREME

1.      Teorema lui Fermat: Fie punct de maxim(sau minim)local al functiei f. Daca f este derivabila in c atunci f '(c)=0.



2.Teorema lui Rolle: Fie ,f continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b)astfel incat f(a)=f(b).Atunci exista un punct astfel incat f '(c)=0.

3.Teorema Lagrange : Fie ,f continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b). Atunci exista un punct astfel incat

4.Teorema lui Cauchy: Fie ,continue pe [a,b] si derivabile pe (a,b). Atunci exista un punct astfel incat .

5.Teorema lui Darboux : Fie ,unde I este un interval din R, o functie derivabila. Atunci pentru orice J, interval inclus in I, f '(J)este interval.

6.Teorema lui Taylor : Fie o functie cu urmatoarele proprietati: exista si sunt continue si exista .Atunci pentru orice astfel incat  .

7.Regula lui L'Hopital Fie si I un interval din R astfel incat .Se considera doua functii cu urmatoarele proprietati:

a)    

b)     f si g sunt derivabile si g'(x) 0 pentru orice

c)     exista

Atunci:

i)g(x) 0 pentru orice (respectiv exista o vecinatate V a lui astfel incat g(x)

ii)exista

8.Teorema de pemutare a limitei cu derivata  Fie un sir de functii unde pentru unde I interval marginit din R. Sa presupunem ca exista astfel incat sirul converge,ca,pentru este derivabila si ca sirul converge uniform pe I catre o functie derivabila si mai mult f '=g.

9.Caracterizarea derivabilitatii pentru functii de o variabila reala

Fie .Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)     f este derivabila in c

b)     exista o aplicatie liniara ( ie )

astfel incat.

10.Legatura dintre diferentiabilitate si continuitate

Fie . Daca f este diferentiabila in c atunci exista astfel incat pentru orice x din D cu proprietatea ca .In particular f este continua in c.

11.a)Legatura dintre diferentiabilitate si existenta derivatelor partiale

Fie .Daca f este diferentiabila in c atunci exista .

      b)Criteriu de diferentiabilitate

Fie .Daca exista V o vecinatate a lui c pe care exista toate derivatele partiale si sunt continue in c,atunci f este diferentiabila in c.

12.Operatii algebrice cu functii diferentiabile

Fie .

a)Daca f si g sunt diferentiabile in c atunci este diferentiabila in c si .

b)Daca f si g sunt diferentiabile in c atunci k=f*g este diferentiabila si Dk(c)(u)=Df(c)(u)g(c)+f(c)Dg(c)(u) pentru

c)Daca este diferentiabila in c atunci este diferentiabila in c si .

13.Teorema de diferentiabilitate a functiilor compuse

Fie astfel incat . Daca f este diferentiabila in c iar g diferentiabila in  este diferentiabila in c si

14.Teorema Lagrange-cazul multidimensional 

Fie astfel incat iar f este diferentiabila in orice punct din (a,b). Atunci exista un punct astfel incat  f(b)-f(a)=Df(c)(b-a)

15.Teorema lui Schwarz 

Fie unde U este o vecinatate a lui (x,y) pentru care exista  in orice punct din U si astfel ca sa fie continua in (x,y).Atunci exista .

16.Teorema lui Taylor -cazul multidimensional Fie o functie astfel incat pentru orice punct din (u,v) exista o vecinatate a sa pe care exista si sunt continue derivatele partiale de ordin n ale lui f. Atunci exista .

17. Teorema de injectivitate locala

Fie .Daca f este de clasa C1  pe D si Df(c)este injectiva atunci exista astfel incat este injectiva.

 

18.Teoreme de surjectivitate locala

 Fie . Daca f este de clasa C1  pe D si Df(c) este surjectiva atunci exista astfel incat pentru  si f(x)=y.

19.Teorema aplicatiei deschise

Fie de clasa C1pe D astfel ca Df(x)este surjectiva pentru orice x din D.Atunci f(D) este deschisa. Mai mult pentru orice , f(G) este deschisa.

 

 

20.Teorema de inversiune locala

Fie  de clasa C1pe D si   astfel incat Df(c)este injectiva. Atunci exista U o vecinatate a lui c cu proprietatea V=f(U) este o vecinatate a lui f(c),f:U->V este bijectiva iar g=f-1:V->U este continua . Mai mult g este de clasa C1 pe D si daca iar x=g(y) U atunci Dg(y) = D(f-1) (f(x))=(Df(x))-1.

 

 

21.Teorema functiilor implicite

Fie F o functie ,  de clasa C1pe o vecinatate a lui .

Presupunem ca Fsi ca aplicatia data de L(u)=DFeste bijectiva. Atunci exista o functie  de clasa C1 pe o vecinatate W a lui astfel incat .

 

22.Teorema lui Ferma-cazul multidimensional

Fie .Daca c este un punct de extrem local al lui f iar f este diferentiabila in c atunci Df(c)=0.

23.Criteriu de stabilire a punctelor de extrem pentru functii de mai multe variabile




Fie care are derivate partiale de ordin 2 continue si un punct critic al sau. Atunci:

a)     daca D2f(c)(w)2>0 , atunci c este un punct de minim relativ al lui f.

b)     daca D2f(c)(w)2>0 , atunci c este un punct de maxim relativ al lui f.

c)     daca exista astfel incat D2f(c)(w1)2>0 si D2f(c)(w2)2<0 atunci c este un punct sa pentru f.

 

 

24.Teorema multiplicatorilor lui Lagrange

Fie f si g clasa C1pe cu valori in R si astfel incat g(c)=0. Presupunem ca exista V0 vecinatate a lui c  astfel ca cu proprietatea suplimentara g(x)=0.

 

25.Criteriul Cauchy pentru integrala Riemann-Stieltjes

Fie f,g:[a,b]->R,functii marginite,f este integrabila Riemann-Stieltjes in raportcu g daca si numai daca pentru partitie a lui [a,b] astfel ca pentru orice partitii P si Q care sunt rafinari ale lui si orice sume Riemann-Stieltjes S(P;f,g) si S(Q;f,g) corespunzatoare lui P, respectiv Q avem:|S(P;f,g)-S(Q;f.g)|< .

 

26.Teorema de integrare prin parti

Fie f,g:[a,b]->R, functii marginite. Atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g daca si numai daca g este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu f caz in care avem: .

 

27.Teorema de integrabilitate a functiilor continue

Fie f,g:[a,b]->R.Daca f este continua iar g este monotona atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g.

 

28.Teorema de permutare a limitei cu integrala

Fie g:[a,b]->R crescatoare iar este un sir de functii integrabile Riemann-Stieltjes in raport cu g care converge uniform catre f:[a,b]->R. Atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g si

 

29.Teorema convergentei marginite

Fie  un sir de functii integrabile Riemann cu proprietatea ca exista M numar real astfel incat pentru Daca  converge simplu catre functia integrabila Riemann f:[a,b]->R atunci: .

 

30.Teorema convergentei monotone

Fie  un sir monoton de functii integrabile Riemann care converg simplu catre functia integrabila Riemann f:[a,b]->R atunci:

 

 

31.Teorema de reprezentare a lui Riesz

Fie G:C([a,b])->R o functionala liniara pozitiva si marginita. Atunci exista o functie crescatoare g:[a,b]->R astfel incat

 

32.Prima teorema de medie

Fie f,g:[a,b]->R, g crescatoare iar f continua . Atunci exista c din [a,b] astfel incat:

 

 

 

 

33.a)Teorema de derivare:

Fie f,g :[a,b]->R, g crescatoare iar f continua. Atunci ,daca g este derivabila in , functia F:[a,b]->R data de F(x)= este derivabila in c si F'(c)=f(c)g'(c).

b)Teorema fundamentala a calculului integral.:

Fie f:[a,b]->R continua. Atunci o functie F:[a,b]->R satisface relatia F(x)-F(a)= daca si numai daca F'=f.

 

 

34.Teorema de reducere a integralei Riemann-Stieltjes la integrala Riemann

Fie f,g:[a,b]->R. Daca g este derivabila cu derivata continua iar f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g , atunci fg' este integrabila Riemann si .

 

35.Prima teorema de medie pentru integrala Riemann

Fie f,g:[a,b]->R doua functii continue iar .Atunci exista astfel ca .

 

36.Teorema de integrare prin parti

Fie f,g:[a,b]->R doua functii derivabile cu derivata continua .Atunci .

 

37.A doua teorema de medie

a)Fie f,g:[a,b]->R, f crescatoare iar g continua. Atunci exista astfel ca .

c)     Fie f,g:[a,b]->R, f crescatoare iar g continua. Atunci exista astfel ca .

 

38.Teorema de schimbare de variabila

Fie derivabila cu derivata continua atfel incat . Fie f o functie al carei domeniu de definitie include imaginea functiei si care este continua pe imaginea lui . Atunci : .

 

39.Formula lui Leibniz

Fie a,b,c,d  o functie continua pentru care exista si este continua pe D.Fie doua functii derivabile. Atunci functia data de  este derivabila si .

 

 

 

40.Teorema de inversare a ordinii de integrare

Fie a,b,c,d  o functie continua.Atunci:

.

 

 

41.Formula lui Taylor cu restul integral

Fie a,b sa fie continue. Atunci : .

 

42.Criteriul lui Cauchy pentru integrala multipla

Fie o multime compacta iar f:D->R o functie marginita. f este integrabila Riemann pe D daca si numai daca pentru partitie a lui If, astfel ca pentru orice partitii P si Q care sunt rafinari ale lui  si orice sume Riemann S(P;f)si S(Q;f) corespunzatoare lui P respectiv Q avem |S(P;f)-S(Q;f)|< .

 

43.A doua teorema de integrare pentru functii de mai multe variabile

Fie continua, unde D este o submultime compacta a lui care are frontiera de masura nula.Atunci f este integrabila pe D.

 

44.Teorema de medie pentru integrala multipla

Fie continua pe D, unde D este o submultime compacta ,conexa si masurabila a lui . Atunci exista un punct p in D astfel ca: .

 

 

 

 

 

45.Teorema de exprimare a unei integrale duble ca o succesiune de integrale

 Daca f:D->R este o functie continua ,unde exista a,b,c,d .Atunci: .

 



46.Teorema de schimbare de variabile la integrala multipla

Fie de clasa C1 pe G astfel incat Daca D este o submultime compacta si masurabila lui G iar este continua, atunci este masurabila si .

 

47.Criterii de comparatie pentru integrala improprie

a)Criteriul lui Cauchy  : Fie o functie integrabila Riemann pe [a,c] oricare c>a. Atunci existadaca si numai daca astfel incat pentru .

b)Criteriul de comparatie : Fie doua functii integrabile Riemann pe [a,c] oricare c>a astfel incat:. Atunci daca exista .

c)Criteriul de comparatie la limita: Fie doua functii integrabile Riemann pe [a,c] oricare c>a astfel incat .Atunci integralele improprii au aceeasi natura(ie.ele exista sau nu simultan)

 

 

48.Criteriul lui Dirichlet pentru integrale improprii

Fie ,f functie continua. Presupunem ca exista un numar real M astfel incat ,iar o functie descrescatoare ce tinde catre 0 atunci cand . (ie. )

 

 

49.Criteriul lui Cauchy pentru serii

Seria este convergenta daca si numai daca

 

50.Teorema de permutare a seriilor absolut convergente

Fie o serie absolut convergenta cu termeni din  cu suma S. Atunci pentru orice bijectie este convergenta si are suma S.

 

51.Teorema lui Mertens

Fie seriile cu termeni din R: astfel incat seria converge absolut catre A, iar converge catre B. Atunci produsul Cauchy al lor este o serie convergenta cu suma AB.

 

52.Teorema lui Cesaro

Fie seriile cu termeni din R: ,iar produsul Cauchy al celor doua serii. Daca converge catre A,iar catre B atunci , notand sirul sumelor partiale ale seriei avem: .

 

53.Criteriile de convergenta pentru serii

1)Criteriul de comparatie : Fie siruri de elemente din .Daca seria este convergenta atunci si seria este convergenta.

 

2)Criteriul de comparatie la limita: Fie siruri de elemente din .:

a)Daca exista atunci seriile au aceeasi natura.

b)Daca  exista si seria converge atunci si seria este convergenta. (Criteriul radacinii lui Cauchy).

3)Criteriul lui Dirichlet : Fie siruri de elemente din iar sirul sumelor partiale ale seriei .Presupunem ca este marginit , sirul converge catre 0si ca seria este convergenta .Atunci seriaeste convergenta.

4)Criteriul lui Abel  :Fie serie convergenta cu elemente din iar sir de elemente din R monoton si convergent. Atunci seriaeste convergenta.

 

54.Teoremele de continuitate,derivabilitate si integrabilitate pentru serii de functii

1)Teorema de continuitate :Daca sir de functii continue   iar seria converge uniform pe D la atunci f este continua.

 

2)Teorema de derivabilitate : Daca sir de functii derivabile  pentru care  astfel incat seria este convergenta iar seria converge uniform. Atunci exista astfel incat seria converge uniform catre f si mai mult .

 

 

3)Teorema de integrabilitate: Daca sir de functii  integrabile Riemann-Stietjes in raport cu iar seria converge uniform catre .Atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g si

 

 

 

55.Criterii de convergenta pentru serii de functii

Criteriul lui Weierstrass: Daca sir de functii pentru care exista un sir de numere reale astfel incat pentru orice astfel incat seria este convergenta.Atunci seria converge uniform pe D.

 

56.Teorema Cauchy-Hadamard

Daca R-raza de convergenta a seriei de puteri atunci seria este absolut convergenta pentru |x|<R si divergenta pentru |x|>R.

 

57.Teoremele de continuitate ,derivare si integrare pentru serii de puteri

1)Fie seria cu raza de convergenta R si S:(-R,R)->R suma seriei de puteri. Atunci functia S este continua si . Mai mult seria de puteri are raza de convergenta R si

2)Fie R raza de convergenta a seriei de puteri  iar K o submultime compacta a intervalului (-R,R). Atunci seria de puteri converge uniform pe K.

 

58.Teorema de unicitate pentru serii de puteri ????????

 

 

59.Teorema lui Bernstein

 Fie f:[0,r]->R pentru care exista derivata de orice ordin.Daca f si derivatele sale de orice ordin sunt pozitive pentru orice x din [0,r] avem: f(x)=

 

60.Teorema lui Abel

Daca seria de puteri converge pe (-R,R) unde R este raza de convergenta catre f(x), iar seriaconverge catre A, atunci seria de puteri  converge uniform pe [0,R] si

 

61.Teorema lui Tauber

Daca seria de puteri converge pe (-1,1) catre f(x), ,atunci seria converge la A.

 

 

 




{ Politica de confidentialitate } Nu se poate descarca referatul
Acest referat nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte referate despre:


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate QReferat.ro Folositi referatele, proiectele sau lucrarile afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul referat pe baza referatelor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }

Referate similare:







Cauta referat