Intalnita sub forma de problema sau sub forma de "curiozitate" in fizica distractiva , tunelul ce strabate Pamantul prin care cad corpuri de la suprafata
Acestuia ofera cititorului nu numai destindere si amuzament , dar si interesante consideratii de ordi stiintific. Astfel , imaginandu-ne ca un corp de masa m cade de la suprafata Pamantului prin centrul acestuia , se pune problema determinarii legii miscarii acestui corp , cat si a caracteristicelor
miscarii.
Daca notam cu Mp - masa Pamantului , evident m << Mp.
Pentru a gasi ecuatia miscarii corpului de masa m presupunem ca la un moment dat corpul se afla la distanta r < Rp de centrul O al Pamantului
( Rp - raza Pamantului ). Corpul va interactiona gravitational numai cu portiunea de masa M a Pamantului avand raza r . Prsupunand Pamantul sferic si de densitate constanta , forta ce actioneaza asupra corpului de masa m are valoarea :
F(r) = -mM / r² (1)
Dar :
M / Mp = (r / Rp ) ³ => M = Mp (r / Rp ) ³ . (2)
Inlocuind cea de-a doua relatie in prima se obtine :
F(r) = -mMpr / Rp³ = -Kr (3)
in care prin s-a notat constanta atractiei universale , iar prin
k = mMp / Rp³ (4)
o constanta de proportionalitate.
Din expresia fortei rezulta ca asupra corpului de masa m actioneaza o forta de tip elastic si care imprima deci acestuia o miscare oscilatorie avand pulsatia :
k / m ) = ( Mp / Rp ³ ) = ( go / Rp ) , (5)
in care go = Mp / Rp ² reprezinta acceleratia gravitationala la suprafata Pamantului .
Perioada acestei miscari rezulta a fi :
T = 2Rp / go ) . (6)
6
Inlocuind in relatia perioadei Rp = 6370 km = 6,37 * 10 m si
go = 9,81 m / s² , rezulta T = 5 * 10³ s = 84,3 min .
Ecuatia miscarii oscilatorii armonice este de forma :
y = rmax sin (t +
Cum la t = 0 , rmax = Rp (corpul cade de la suprafata Pamantului ) , rezulta ca sin si deci
y = Rp sin [ t ( go / Rp ) + Rp cos [ t ( go / Rp ) ] . (8)
Ca urmare viteza si acceleratia corpului de masa m sunt :
rmax cos (t +
a = - ² rmax sin (t +
Avand in vedere miscarea oscilatorie si ecuatia miscarii , acceleratia si viteza corpului capata forma :
- ( go*Rp ) sin [ t ( go / Rp ) ] ; max = ( go*Rp ) . (11)
a = - go cos [ t ( go / Rp ) ] ; amax = go . (12)
Din prima relatie se constata ca viteza maxima a corpului reprezinta prima viteza cosmica ( viteza unui satelit artificial pe o orbita situata in imediata vecinatate a suprafetei Pamantului ) .
go*Rp ) = 7,9 km / s .
Aceasta viteza este atinsa atunci cand corpul trece prin centrul Pamantului
si , dupa cum se stie , ea reprezinta o valoare caracteristica a campului gravitational al planetei noastre .
Cititorul poate constata usor ca aceasta valoare a vitezei se poate obtine usor prin considerente de ordin energetic , aplicand legea conservarii energiei corpului scrisa pentru centrul Pamantului .
Din relatia acceleratiei corpului rezulta ca ea este maxima la suprafata Pamantului .
Asadar corpul lasat sa cada prin acest tunel ajunge la celalalt capat in aproximativ 42 minute fara nici un consum de energie ( daca neglijam frecarile ) si revine in acelasi punct dupa aproximativ 48 minute care reprezinta perioada miscarii oscilatorii a corpului .
Aceeasi perioada o are si satelitul artificial al Pamantului ce se misca pe o traiectorie circulara in imediata vecinatate a acestuia ( teoretic la suprafata Pamantului , h = 0 ) .
In fond , miscarea corpului de masa m in tunelul imaginar care trece prin centrul Pamantului poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul AB (prima
figura ) a miscarii circulare a unui satelit artficial in jurul Pamantului , in imediata vecinatate a suprafetei acestuia , asa cum se studiaza de regula , elementar miscarea oscilatorie armonica . Este de consemnat apoi faptul ca aceeasi perioada ( T = 84,3 minute ) o are si un pendul gravitational cu lugimea l = Rp care ar oscila la suprafata Pamantului . De asemenea este interesant si faptul ca pentru o lungime a pendulului , L care ar tinde la infinit perioada este aceeasi .
