Riscul si rentabilitatea unui portofoliu de titluri

Riscul si rentabilitatea unui portofoliu de titluri

1 Analiza rentabilitate - risc

1.1 Riscul unui titlu

Riscul unui activ se defineste prin variabilitatea probabila a rentabilitatii viitoare a activului. De exemplu, daca un investitor cumpara obligatiuni guvernamentale pe termen scurt de 1 milion u.m. cu un randament anticipat 7% atunci rentabilitatea investitiei este de 7% si poate fi estimata cu precizie, acest tip de investitie fiind fara risc. Insa daca milionul este investit in actiuni ale unei companii recent infiintate, avand ca profil de activitate, de exemplu, explorarea petrolului intr-o zona petroliera, rentabilitatea investitiei nu poate fi estimata precis. Un analist, studiind rezultatele posibile, ar putea estima o rata de rentabilitate asteptata, din punct de vedere statistic, de 20%. Investitorul se poate astepta si la faptul ca rata de rentabilitate reala  poate varia, de exemplu, de la +100% la -100%. Existenta posibilitatii semnificative, de a obtine o rentabilitate reala mult mai mica decat rentabilitatea asteptata, face ca actiunile sa fie considerate ca riscante.

Deci, riscul este legat de probabilitatea de a avea o rentabilitate mai mica decat cea asteptata. Cu cat este mai mare sansa unei rentabilitati mici sau negative, cu atat mai riscanta este investitia.

Orice decizie de investitie (orice decizie de afaceri) necesita o previziune a unor evenimente viitoare. In deciziile de alocare a capitalului, previziunile cheie sunt legate de fluxurile de numerar anuale ale proiectului. De regula, aceasta previziune este facuta sub forma unui numar, adica o estimare punctuala, denumita frecvent estimatia cea mai probabila (500 u.m. anual timp de 3 ani). Ne punem intrebarea: cat de buna este aceasta estimatie punctuala? Adica, cata incredere putem avea in rentabilitatea previzionata: este foarte certa, foarte incerta sau undeva la mijloc? Acest gen de incertitudine este definit si masurat prin distributia de probabilitate a predictiei (asocierea estimarii probabilitatii cu fiecare rezultat posibil).

Masura traditionala a riscului aplicabila proiectelor individuale este legata de variabilitatea rezultatelor si este definita prin distributia de probabilitate.

Proiect A

Proiect B

Rata estimata (asteptata) a rentabilitatii se calculeaza dupa relatia:

-unde Ri reprezinta ratele de rentabilitate posibile, iar pi probabilitatile corespunzatoare fiecarei rentabilitati.

Pentru a fi utila o masura a riscului trebuie sa aiba definita o valoare. Este necesar sa se masoare largimea distributiei de probabilitate. O astfel de masura este deviatia standard (s). Cu cat este mai mica s cu atat este mai stransa distributia de probabilitate si  deci riscul activului respectiv este mai mic.

-s este o probabilitate - media ponderata a deviatiei de la valoarea asteptata si ne arata cu cat este valoarea reala mai mare sau mai mica decat valoarea asteptata.

Rentabilitatile sunt calculate pe baza fluxurilor de numerar prevazute in cazul unor scenarii alternative. O anumita rata de rentabilitate poate fi interpretata ca rata interna de rentabilitate a proiectului pe baza fluxurilor de numerar asociate (proiectul costa 1000 u.m. si are 3 valori posibile ale fluxului prevazut de numerar).
    * 210 u.m./an ..3 ani
    * 438 u.m./an . 3 ani
    * 711 u.m./an . 3 ani
    Rata interna a rentabilitatii (R.I.R.)

1000 = CF1/(1 + RIR) + CF2(1 + RIR)2 + CF3/(1 + RIR)3

Daca fluxul de numerar este de 210 u.m. rezulta ca RIR = -20%.
    Pentru fluxurile anuale de numerar de 436 u.m. sau 711 u.m., RIR este respectiv 15% sau 50%.   
    Daca singurele date disponibile sunt valori ale rentabilitatii intr-o perioada trecuta deviatia standard a rentabilitatii se estimeaza folosind formula:

Daca distributia de probabilitate este continua, astfel ca probabilitatea poate fi estimata pentru fiecare rezultat posibil, atunci putem trasa o curba continua care uneste toate ratele rentabilitatii. Distributiile de rentabilitate pentru cele doua proiecte E si F prezentate in fiura 6.1 sunt exemple de distributii continue de probabilitate. Graficul proiectului F prezinta doua carcteristici ale unei investitii mai favorabile: (1) are rentabilitatea asteptata mai mare si (2) distributia de probabilitate este mai stransa, in consecinta un risc mai mic.

1.2  Rentabilitatea si riscul unui portofoliu format din doua titluri

Un investitor are de ales intre doua titluri T1 si T2 sau are in mod egal posibilitatea constituirii unui portofoliu P repartizand suma pe care doreste s-o investeasca intre cele doua titluri. 

Anticiparile sale privind comportamentul titlurilor in perioada viitoare sunt rezumate in varianta urmatoare:

Reamintim semnificatia notatiilor utilizate, i si j fiind  cele doua titluri oarecare:
    Ei - speranta matematica a ratei rentabilitatii titlului i;
    si - abaterea standard a ratei rentabilitatii titlului i;
      rij - coeficientul de corelatie intre ratele rentabilitatii titlurilor i si j;
    Covij - covarianta intre ratele rentabilitatii titlurilor i si j.
   

Portofoliul P este obtinut combinand cele doua titluri in proportia X1 si X2.

Totalitatea sumei disponibile este investita in T1 si T2. Avem relatia:

   X1 + X2 = 1cu X1, X2 ³ 0 sau 0 £ X1 £ 1; 0 £ X2 £ 1.

Speranta matematica a ratei randamentului portofoliului P(Ep):

   Ep = X1E1 + X2E2

Speranta randamentului este media ponderata a sperantei randamentelor titlurilor, ponderea fiind proportiile.

Dispersia ratei randamentului portofoliului P(Vp):

Dispersia portofoliului este functie de dispersia fiecarui titlu, de proportiile in care sunt combinate si de covarianta intre cele doua titluri.

Plecand de la doua titluri T1 si T2 astfel incat E1 < E2 si s1 < s2, diferite portofolii care pot fi constituite vor fi studiate in planul E - s. Vom vedea ca potrivit gradului de dependenta (sau de covarianta sau de corelatie) intre T1 si T2, diferite ansamble de portofolii pot fi obtinute. Se disting trei cazuri:
    1) Daca r12 = 1: titlurile T1 si T2 sunt perfect si pozitiv corelate ceea ce semnifica anticiparea pentru randamentul acestor titluri a unor miscari perfect concordante in timp, dar cu amplitudini diferite (figura 6.3).

In acest caz:
  
se scrie
       cu .
Adica

Sursa: Modelarea deciziilor economico-financiare

Deviatia procentuala de la medie a proiectului C este considerabil mai mare decat deviatia de la medie a proiectului D. Aceasta inseamna ca pentru fiecare u.m. de profit obtinut proiectul C este mai riscant decat proiectul D.

Sursa: Modelarea deciziilor economico-financiare

Abaterea standard a portofoliului este media abaterilor standard ale titlurilor care il compun. Reunind cele doua ecuatii si raportand la randamentul si la riscul portofoliului P,  si  obtinem ecuatia , ca spatiu al combinarilor titlurilor T1 si T2 in planul E - s. Stim ca X1 + X2 = 1, adica

X2 = 1 - X1.

Din ecuatia , obtinem daca E1¹E2 pe care il inlocuim cu ecuatia lui sp.
    Obtinem:
  
    Aici relatia intre Ep si sp este liniara si se reprezinta grafic printr-o dreapta.
    Toate portofoliile obtinute plecand de la T1 si T2 (cu X1 si X2 ³ 0) se gasesc pe segmentul de dreapta T1T2.
    2) Daca r12 = -1, titlurile T1 si T2 sunt perfect si negativ corelate.
    Anticipam pentru randamentul acestor titluri fluctuatii perfect opuse.
    In acest caz

se scrie:
  
adica:
  
    Abaterea standard fiind totdeauna pozitiva, vom face discutie pentru semnul expresiei () care variaza in functie de X1 si X2.

Sursa: Modelarea deciziilor economico-financiare
Evolutia randamentelor a doua titluri perfect si negativ corelate

Pentru
    Aceasta relatie, impreuna cu relatia Ep = X1E1 + X2E2, permite determinarea ecuatiei de legatura intre Ep si sp.
    Obtinem .
    Este vorba de o relatie liniara reprezentata grafic de o dreapta. Partea, din aceasta dreapta, corespunzatoare la:

  

este locul portofoliilor obtinute plecand de la titlurile T1 si T2 (ramura 1 a graficului 6.6).
  Pentru           

Procedand ca mai sus obtinem ecuatia liniara legand Ep si sp.

O parte a acestei drepte, cea corespunzatoare lui
este legea portofoliilor obtinute combinand T1 si T2 (ramura 2 a graficului 8.6).
    In sfarsit, pentru avem sp = 0.
    Acest rezultat este remarcabil, deoarece el arata ca plecand de la doua titluri riscante este posibil ca alegand riguros proportiile (0 £ X1 si X2 £ 1), sa se construiasca un portofoliu neriscant. Acest rezultat este posibil daca titlurile T1, T2 sunt perfect si negativ corelate.

Sursa: Modelarea deciziilor economico-financiare
 Legea portofoliilor obtinute plecand de la titluri perfect si negativ corelate

3) Daca -1 < r12 < +1 (incluzand r12 = 0) fluctuatii anticipate pentru titlurile T1 si T2 nu sunt perfect dependente (pozitiv si negativ). Este cazul general, exista un anumit grad de corelare intre ratele randamentelor titlurilor datorita faptului ca toate urmaresc mai mult sau mai putin fluctuatiile generale ale economiei. In urcare in perioada de expansiune, ratele randamentelor titlurilor cunosc o incetinire si chiar o scadere cand conjunctura este mai putin favorabila. Pe ansamblu, titlurile sunt pozitiv (dar nu perfect) corelate intre ele si cu ansamblul economiei. Un titlu corelat negativ este foarte rar, minele de aur fiind un exemplu din aceasta categorie de titluri.
    In cazul general, obtinem pentru un portofoliu de doua titluri:
  
   cu -1 < r12 < +1

adica:  care nu poate fi pusa sub forma unui patrat perfect, ca in cazul celor doua situatii precedente.
    Plecand de la aceasta ecuatie si de la cea a lui Ep (Ep = X1E1 + X2E2), stabilim relatia care leaga pe Ep si sp.
    Din ecuatia lui Ep obtinem X1 = (Ep-E2/(E1-E2) valoare pe care o introducem in ecuatia lui Vp. Dezvoltand obtinem:

Ecuatia obtinuta in planul E-V este aceea a unei parabole. In planul   E-s ecuatia

reprezinta o hiperbola din care retinem o ramura, respectiv aceea corespunzand valorilor sp pozitive.

In figura 6.7 sunt reprezentate curbele obtinute pentru diferite valori posibile ale coeficientului de corelare al celor doua titluri. Pe masura ce corelarea intre cele doua titluri scade, concavitatea curbei se accentueaza. Trecem astfel progresiv de la dreapta T1T2 corespunzand corelatiei maxime (r12 = 1) la curbe la inceput usor rotunjite, apoi din ce in ce mai accentuate care se ridica deasupra si la stanga dreptei pe masura ce trecem la grade de corelare mai mici, pana ajungem cu r12 = -1 la o solutie unde legea portofoliilor este compusa din doua segmente de dreapta incadrand curbele descrise anterior. Cazul a doua titluri independente (r12 = 0) constituie o etapa in aceasta evolutie.

Sursa: Modelarea deciziilor economico-financiare
Figura Locul portofoliilor obtinute plecand de la doua titluri. Ansamblul de cazuri posibile

Cateva observatii pot fi formulate despre avantajele diversificarii.

a)Diversificarea este interesanta imediat ce r12 < 1.

b) Plecand de la doua titluri T1 si T2 este posibil in anumite cazuri sa se obtina portofolii avand un risc inferior riscului fiecarui titlu care-l compune; aceasta este posibil cand

    Aceasta va fi intotdeauna posibil cu titluri cu risc independente sau corelate negativ (r12 £ 0).
    c) Exista in fiecare situatie un portofoliu de risc minim care corespunde proportiilor X1 si X2 determinate. Acest portofoliu de risc minim are un risc nul intr-un singur caz, cand r12 = -1. In toate celelalte cazuri riscul minim este pozitiv.
    Nu este deci posibil sa se elimine riscul, decat in cazul in care combinam doua titluri perfect si negativ corelate.